Давайте решим задачу по вычислению математического ожидания и дисперсии случайной величины (X), заданной её распределением.
Дано:
| Значение (X) |
Вероятность (p) |
| 1 |
0.1 |
| 4 |
0.5 |
| 5 |
0.4 |
1. Вычислить математическое ожидание (E(X))
Математическое ожидание определяется формулой:
[
E(X) = \sum_{i} x_i \cdot p_i
]
Где:
- (x_i) — значение случайной величины,
- (p_i) — соответствующая вероятность.
Подставляем значения:
[
E(X) = (1 \times 0.1) + (4 \times 0.5) + (5 \times 0.4)
]
Выполняем вычисления:
[
E(X) = 0.1 + 2 + 2 = 4.1
]
Ответ:
[
\boxed{
E(X) = 4.1
}
]
2. Вычислить дисперсию (D(X))
Дисперсия определяется формулой:
[
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
]
Где:
- (E(X^2)) — ожидание квадрата случайной величины.
Сначала найдём (E(X^2)):
[
E(X^2) = \sum_{i} x_i^2 \cdot p_i
]
Подставляем значения:
[
E(X^2) = (1^2 \times 0.1) + (4^2 \times 0.5) + (5^2 \times 0.4) = (1 \times 0.1) + (16 \times 0.5) + (25 \times 0.4)
]
Выполняем вычисления:
[
E(X^2) = 0.1 + 8 + 10 = 18.1
]
Теперь вычислим дисперсию:
[
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 18.1 - (4.1)^2
]
[
(4.1)^2 = 16.81
]
Следовательно:
[
D(X) = 18.1 - 16.81 = 1.29
]
Ответ:
[
\boxed{
D(X) = 1.29
}
]
Итог:
- Математическое ожидание: (\boxed{4.1})
- Дисперсия: (\boxed{1.29})
Если есть дополнительные вопросы, можете обращаться!
