Дан ряд распределения случайной величины икс вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины икс: X 1 4 5 p 0,1 0,5 0,4
Давайте решим задачу по вычислению математического ожидания и дисперсии случайной величины \(X\), заданной её распределением.
Дано:
| Значение \(X\) | Вероятность \(p\) |
|---|---|
| 1 | 0.1 |
| 4 | 0.5 |
| 5 | 0.4 |
1. Вычислить математическое ожидание \(E(X)\)
Математическое ожидание определяется формулой:
\[ E(X) = \sum_{i} x_i \cdot p_i \]
Где:
- \(x_i\) — значение случайной величины,
- \(p_i\) — соответствующая вероятность.
Подставляем значения:
\[ E(X) = (1 \times 0.1) + (4 \times 0.5) + (5 \times 0.4) \]
Выполняем вычисления:
\[ E(X) = 0.1 + 2 + 2 = 4.1 \]
Ответ:
\[ \boxed{ E(X) = 4.1 } \]
2. Вычислить дисперсию \(D(X)\)
Дисперсия определяется формулой:
\[ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \]
Где:
- \(E(X^2)\) — ожидание квадрата случайной величины.
Сначала найдём \(E(X^2)\):
\[ E(X^2) = \sum_{i} x_i^2 \cdot p_i \]
Подставляем значения:
\[ E(X^2) = (1^2 \times 0.1) + (4^2 \times 0.5) + (5^2 \times 0.4) = (1 \times 0.1) + (16 \times 0.5) + (25 \times 0.4) \]
Выполняем вычисления:
\[ E(X^2) = 0.1 + 8 + 10 = 18.1 \]
Теперь вычислим дисперсию:
\[ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 18.1 - (4.1)^2 \]
\[ (4.1)^2 = 16.81 \]
Следовательно:
\[ D(X) = 18.1 - 16.81 = 1.29 \]
Ответ:
\[ \boxed{ D(X) = 1.29 } \]
Итог:
- Математическое ожидание: \(\boxed{4.1}\)
- Дисперсия: \(\boxed{1.29}\)
Если есть дополнительные вопросы, можете обращаться!
