Давайте решим задачу подробно и пошагово.
Задача: При каких значениях параметра n уравнение
[ n x^2 + 4x + (3 + n) = 0 ]
имеет один корень?
Шаг 1: Уясним условие наличия одного корня
У квадратичного уравнения один корень тогда и только тогда, когда дискриминант равен нулю:
[ D = 0 ]
Шаг 2: Запишем формулу дискриминанта
Для уравнения вида:
[ a x^2 + b x + c = 0 ]
дискриминант равен:
[ D = b^2 - 4 a c ]
Где:
- ( a = n )
- ( b = 4 )
- ( c = 3 + n )
Шаг 3: Подставим значения в формулу
[ D = (4)^2 - 4 \cdot n \cdot (3 + n) ]
[ D = 16 - 4 n (3 + n) ]
Раскроем скобки:
[ D = 16 - 4 n \cdot 3 - 4 n \cdot n ]
[ D = 16 - 12 n - 4 n^2 ]
Шаг 4: Решим уравнение ( D = 0 )
[ 16 - 12 n - 4 n^2 = 0 ]
Упростим уравнение, разделив все члены на —4, чтобы избавиться от коэффициента при ( n^2 ):
[ -\frac{16}{4} + \frac{12 n}{4} + n^2 = 0 ]
[ -4 + 3 n + n^2 = 0 ]
Теперь получаем квадратичное уравнение:
[ n^2 + 3 n - 4 = 0 ]
Шаг 5: Решим квадратичное уравнение по n
Используем формулу для решения:
[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a} ]
где ( a=1 ), ( b=3 ), ( c=-4 ).
Вычисляем дискриминант по n:
[ D_n = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 ]
Далее:
[ n = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} ]
[ n = \frac{-3 \pm 5}{2} ]
Рассмотрим оба варианта:
- ( n = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 )
- ( n = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4 )
Ответ:
Уравнение имеет один корень при:
[ \boxed{
n = 1 \quad \text{или} \quad n = -4
} ]
Если нужно более подробно пояснить или есть другие вопросы — скажите!
