При каких значениях параметра п уравнение имеет один корень? - nx2 + 4x + (3 +n) = 0
Давайте решим задачу подробно и пошагово.
Задача: При каких значениях параметра n уравнение
\[ n x^2 + 4x + (3 + n) = 0 \]
имеет один корень?
Шаг 1: Уясним условие наличия одного корня
У квадратичного уравнения один корень тогда и только тогда, когда дискриминант равен нулю:
\[ D = 0 \]
Шаг 2: Запишем формулу дискриминанта
Для уравнения вида:
\[ a x^2 + b x + c = 0 \]
дискриминант равен:
\[ D = b^2 - 4 a c \]
Где:
- \( a = n \)
- \( b = 4 \)
- \( c = 3 + n \)
Шаг 3: Подставим значения в формулу
\[ D = (4)^2 - 4 \cdot n \cdot (3 + n) \]
\[ D = 16 - 4 n (3 + n) \]
Раскроем скобки:
\[ D = 16 - 4 n \cdot 3 - 4 n \cdot n \]
\[ D = 16 - 12 n - 4 n^2 \]
Шаг 4: Решим уравнение \( D = 0 \)
\[ 16 - 12 n - 4 n^2 = 0 \]
Упростим уравнение, разделив все члены на —4, чтобы избавиться от коэффициента при \( n^2 \):
\[ -\frac{16}{4} + \frac{12 n}{4} + n^2 = 0 \]
\[ -4 + 3 n + n^2 = 0 \]
Теперь получаем квадратичное уравнение:
\[ n^2 + 3 n - 4 = 0 \]
Шаг 5: Решим квадратичное уравнение по n
Используем формулу для решения:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 ac}}{2a} \]
где \( a=1 \), \( b=3 \), \( c=-4 \).
Вычисляем дискриминант по n:
\[ D_n = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]
Далее:
\[ n = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} \]
\[ n = \frac{-3 \pm 5}{2} \]
Рассмотрим оба варианта:
- \( n = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
- \( n = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)
Ответ:
Уравнение имеет один корень при:
\[ \boxed{ n = 1 \quad \text{или} \quad n = -4 } \]
Если нужно более подробно пояснить или есть другие вопросы — скажите!
