Давайте разберём задачу пошагово.
Дана функция плотности:
[ f(x) = \frac{e^{ - \frac{(x - 1)^2}{2 \cdot 18} }}{13 \sqrt{2\pi}} ]
Обратим внимание на структуру функции — она похожа на функцию плотности нормальной распределённой величины.
Шаг 1. Приведение к стандартной форме нормального распределения
Общая форма плотности нормального распределения:
[
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\left( - \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)
]
Рассмотрим вашу функцию:
[
f(x) = \frac{e^{ - \frac{(x - 1)^2}{2 \cdot 18} }}{13 \sqrt{2\pi}}
]
Сравним с общей формой. На знаменателе:
[
\frac{1}{13 \sqrt{2\pi}}
]
и в числителе экспоненты:
[
Значит, параметры:
- Среднее (\mu = 1),
- Дисперсия (\sigma^2 = 18),
так как в экспоненте стоит (\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}). В нашей функции:
[
- \frac{(x - 1)^2}{36} \equiv - \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}
]
Отсюда:
[
2\sigma^2 = 36 \implies \sigma^2 = 18
]
Проверим знаменатель:
[
\sigma \sqrt{2\pi} = 13
]
Значит, дисперсия (\sigma^2 = 18).
Ответ:
Дисперсия случайной величины (X) равна:
[
\boxed{\sigma^2 = 18}
]
Если нужно, могу помочь с дальнейшими расчетами или объяснениями!
