Два баскетболиста по два раза бросают мяч в корзину. При каждом броске вероятность попадания для первого равна 0.7, для второго — 0.8. Составь закон распределения дискретной случайной величины — количество попаданий в корзину.

Давайте подробно разберем задачу и составим закон распределения дискретной случайной величины — количество попаданий в корзину при двух бросках двумя баскетболистами. ### Условия задачи: - Первый баскетболист делает 2 броска, каждый с вероятностью попадания \( p_1 = 0.7 \). - Второй баскетболист делает 2 броска, каждый с вероятностью попадания \( p_2 = 0.8 \). - Всего бросков: 4. - Нужно найти распределение по общей количеству попаданий (от 0 до 4). --- ### Шаг 1: Определить случайную величину Обозначим: - \( X \) — общее число попаданий всех четырьмя бросками. Чему равен \( P(X = k) \), где \( k = 0, 1, 2, 3, 4 \)? Для этого нужно учитывать все возможные комбинации попаданий и промахов, которые приводят к ровно \( k \) успешным броскам. --- ### Шаг 2: Анализ по частным событиям Броски двух баскетболистов — независимы. Вероятности попадания для каждого игрока: - Первый игрок: два броска с вероятностями \( 0.7 \). - Второй игрок: два броска с вероятностями \( 0.8 \). Обозначим: - \( X_1 \) — число попаданий первого игрока (от 0 до 2), - \( X_2 \) — число попаданий второго игрока (от 0 до 2). Тогда, \[ X = X_1 + X_2. \] Значения \( X \) достигаются как сумма двух случайных величин, каждая из которых — биномиальная: \[ X_1 \sim \text{Bin}(2, 0.7), \] \[ X_2 \sim \text{Bin}(2, 0.8), \] и \( X_1 \) и \( X_2 \) — независимы. **Задача сводится к определению вероятностей суммы двух биномиальных переменных.** --- ### Шаг 3: Найти распределения \( P(X_1 = i) \) и \( P(X_2 = j) \) Для первого игрока: \[ P(X_1 = i) = \binom{2}{i} \times (0.7)^i \times (0.3)^{2 - i}, \quad i=0,1,2. \] Расчитаем: - \( P(X_1=0) = \binom{2}{0} \times 0.7^0 \times 0.3^2 = 1 \times 1 \times 0.09 = 0.09 \), - \( P(X_1=1) = \binom{2}{1} \times 0.7^1 \times 0.3^1 = 2 \times 0.7 \times 0.3 = 2 \times 0.21 = 0.42 \), - \( P(X_1=2) = \binom{2}{2} \times 0.7^2 \times 0.3^0 = 1 \times 0.49 \times 1 = 0.49 \). Для второго игрока: \[ P(X_2 = j) = \binom{2}{j} \times (0.8)^j \times (0.2)^{2 - j}, \quad j=0,1,2. \] Рассчитаем: - \( P(X_2=0) = \binom{2}{0} \times 0.8^0 \times 0.2^2 = 1 \times 1 \times 0.04 = 0.04 \), - \( P(X_2=1) = \binom{2}{1} \times 0.8 \times 0.2 = 2 \times 0.8 \times 0.2 = 2 \times 0.16 = 0.32 \), - \( P(X_2=2) = \binom{2}{2} \times 0.8^2 \times 0.2^0 = 1 \times 0.64 \times 1 = 0.64 \). --- ### Шаг 4: Составляем таблицу объединенных вероятностей Вероятности каждого сочетания \( (X_1 = i, X_2 = j) \): \[ \begin{array}{c|c|c|c} X_1 \backslash X_2 & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0.09 \times 0.04 = 0.0036 & 0.09 \times 0.32 = 0.0288 & 0.09 \times 0.64 = 0.0576 \\ 1 & 0.42 \times 0.04 = 0.0168 & 0.42 \times 0.32 = 0.1344 & 0.42 \times 0.64= 0.2688 \\ 2 & 0.49 \times 0.04= 0.0196 & 0.49 \times 0.32= 0.1568 & 0.49 \times 0.64= 0.3136 \\ \end{array} \] --- ### Шаг 5: Расчет вероятностей \( P(X = k) \) Теперь мы можем найти вероятность того, что сумма \( X_1 + X_2 = k \). Для каждого \( k \): \[ P(X = k) = \sum_{i} P(X_1 = i, X_2= k - i), \] где \( i \) принимает значения, при которых \( X_2 = k - i \) допустимо. Расчитаем каждую: - **\( P(X=0) \):** Только одна комбинация: \( (X_1=0, X_2=0) \) \[ P_0 = 0.0036. \] - **\( P(X=1) \):** Комбинации: - \( (X_1=0, X_2=1) \rightarrow 0.0288 \), - \( (X_1=1, X_2=0) \rightarrow 0.0168 \), \[ P_1 = 0.0288 + 0.0168 = 0.0456. \] - **\( P(X=2) \):** Комбинации: - \( (0,2) \rightarrow 0.0576 \), - \( (1,1) \rightarrow 0.1344 \), - \( (2,0) \rightarrow 0.0196 \), \[ P_2 = 0.0576 + 0.1344 + 0.0196 = 0.2116. \] - **\( P(X=3) \):** Комбинации: - \( (1,2) \rightarrow 0.2688 \), - \( (2,1) \rightarrow 0.1568 \), \[ P_3 = 0.2688 + 0.1568 = 0.4256. \] - **\( P(X=4) \):** Только одна комбинация: - \( (2,2) \rightarrow 0.3136 \), \[ P_4 = 0.3136. \] --- ### Итоговое распределение | Количество попаданий | Вероятность | |-------------------------|--------------| | 0 | 0.0036 | | 1 | 0.0456 | | 2 | 0.2116 | | 3 | 0.4256 | | 4 | 0.3136 | --- ### Итог: **Закон распределения дискретной случайной величины \( X \) — сумма попаданий двух игроков:** \[ \boxed{ \begin{aligned} P(X=0) &= 0.0036, \\ P(X=1) &= 0.0456, \\ P(X=2) &= 0.2116, \\ P(X=3) &= 0.4256, \\ P(X=4) &= 0.3136. \end{aligned} } \] Если нужно, могу помочь с любыми пояснениями или расчетами!