В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность радиуса 2 см. Известно, что сумма катетов равна 17 см. Найдите AB. Найдите площадь треугольника ABC.

Давайте решим задачу пошагово. **Дано:** - Треугольник ABC — прямоугольный при C. - Вписанная окружность радиуса r = 2 см. - Сумма катетов: \(AC + BC = 17 \text{ см}\). - Нужно найти гипотенузу \(AB\) и площадь треугольника. --- ### Шаг 1: Обозначения и основные свойства Обозначим: - \(AC = x\), - \(BC = y\), - \(AB = c\) — гипотенуза (так как треугольник прямоугольный при C). Известно: \[ x + y = 17. \] Катеты \(x, y \geq 0\). --- ### Шаг 2: Свойства прямоугольного треугольника и радиуса вписанной окружности Вине окружность в прямоугольном треугольнике касаясь всех сторон, радиус которой связан со сторонами следующим образом: \[ r = \frac{\text{площадь}}{s} \] где \(s\) — полупериметр, а площадь \(\Delta\). **Формулы:** - Площадь: \(\Delta = \frac{1}{2} xy\). - Полупериметр: \(s = \frac{x + y + c}{2}\). Но, есть важное свойство радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике: \[ r = \frac{x + y - c}{2}. \] Это свойство верно для прямоугольных треугольников, так как радиус вписанной окружности равен полустороне, которая соединяет центр вписанной окружности с точками касания. --- ### Шаг 3: Используем свойства для нахождения гипотенузы \(c\) Мы знаем: \[ r = 2, \] по формуле: \[ r = \frac{x + y - c}{2} \implies c = x + y - 2 \times r = 17 - 2 \times 2 = 17 - 4 = 13. \] **Итак, гипотенуза \(AB = c = 13 \text{ см}\).** --- ### Шаг 4: Нахождение катетов \(x, y\) Теперь у нас есть: \[ x + y = 17, \] и по теореме Пифагора: \[ x^2 + y^2 = c^2 = 13^2 = 169. \] Выразим \(y = 17 - x\), подставим в уравнение: \[ x^2 + (17 - x)^2 = 169. \] Раскроем скобки: \[ x^2 + 289 - 34x + x^2 = 169, \] \[ 2x^2 - 34x + 289 = 169, \] Перенесем всё в левую часть: \[ 2x^2 - 34x + (289 - 169) = 0, \] \[ 2x^2 - 34x + 120 = 0. \] Разделим всю уравнение на 2: \[ x^2 - 17x + 60 = 0. \] Это квадратное уравнение. Решим его: Используем дискриминант: \[ D = 17^2 - 4 \times 1 \times 60 = 289 - 240 = 49. \] Корни: \[ x = \frac{17 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{17 \pm 7}{2}. \] Получаем два варианта: - \(x = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12\), - \(x = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5\). **Следовательно**, катеты: \[ x = 12, \quad y = 17 - 12 = 5, \] или \[ x = 5, \quad y = 12. \] --- ### Шаг 5: Проверка и вычисление площади Площадь: \[ \Delta = \frac{1}{2} xy. \] Выберите любой вариант (например, \(x=12, y=5\)): \[ \Delta = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = \frac{1}{2} \times 60 = 30 \text{ см}^2. \] --- ## Итоговые ответы: - **Гипотенуза \(AB\):** \(\boxed{13 \text{ см}}\). - **Площадь треугольника:** \(\boxed{30 \text{ см}^2}\). Если есть какие-то вопросы по шагам — спрашивайте!