В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность радиуса 2 см. Известно, что сумма катетов равна 17 см. Найдите AB. Найдите площадь треугольника ABC.
Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- Треугольник ABC — прямоугольный при C.
- Вписанная окружность радиуса r = 2 см.
- Сумма катетов: \(AC + BC = 17 \text{ см}\).
- Нужно найти гипотенузу \(AB\) и площадь треугольника.
Шаг 1: Обозначения и основные свойства
Обозначим:
- \(AC = x\),
- \(BC = y\),
- \(AB = c\) — гипотенуза (так как треугольник прямоугольный при C).
Известно: \[ x + y = 17. \]
Катеты \(x, y \geq 0\).
Шаг 2: Свойства прямоугольного треугольника и радиуса вписанной окружности
Вине окружность в прямоугольном треугольнике касаясь всех сторон, радиус которой связан со сторонами следующим образом: \[ r = \frac{\text{площадь}}{s} \] где \(s\) — полупериметр, а площадь \(\Delta\).
Формулы:
- Площадь: \(\Delta = \frac{1}{2} xy\).
- Полупериметр: \(s = \frac{x + y + c}{2}\).
Но, есть важное свойство радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике: \[ r = \frac{x + y - c}{2}. \]
Это свойство верно для прямоугольных треугольников, так как радиус вписанной окружности равен полустороне, которая соединяет центр вписанной окружности с точками касания.
Шаг 3: Используем свойства для нахождения гипотенузы \(c\)
Мы знаем: \[ r = 2, \] по формуле: \[ r = \frac{x + y - c}{2} \implies c = x + y - 2 \times r = 17 - 2 \times 2 = 17 - 4 = 13. \]
Итак, гипотенуза \(AB = c = 13 \text{ см}\).
Шаг 4: Нахождение катетов \(x, y\)
Теперь у нас есть: \[ x + y = 17, \] и по теореме Пифагора: \[ x^2 + y^2 = c^2 = 13^2 = 169. \]
Выразим \(y = 17 - x\), подставим в уравнение: \[ x^2 + (17 - x)^2 = 169. \]
Раскроем скобки: \[ x^2 + 289 - 34x + x^2 = 169, \] \[ 2x^2 - 34x + 289 = 169, \]
Перенесем всё в левую часть: \[ 2x^2 - 34x + (289 - 169) = 0, \] \[ 2x^2 - 34x + 120 = 0. \]
Разделим всю уравнение на 2: \[ x^2 - 17x + 60 = 0. \]
Это квадратное уравнение. Решим его:
Используем дискриминант: \[ D = 17^2 - 4 \times 1 \times 60 = 289 - 240 = 49. \]
Корни: \[ x = \frac{17 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{17 \pm 7}{2}. \]
Получаем два варианта:
- \(x = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12\),
- \(x = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5\).
Следовательно, катеты: \[ x = 12, \quad y = 17 - 12 = 5, \] или \[ x = 5, \quad y = 12. \]
Шаг 5: Проверка и вычисление площади
Площадь: \[ \Delta = \frac{1}{2} xy. \]
Выберите любой вариант (например, \(x=12, y=5\)):
\[ \Delta = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = \frac{1}{2} \times 60 = 30 \text{ см}^2. \]
Итоговые ответы:
- Гипотенуза \(AB\): \(\boxed{13 \text{ см}}\).
- Площадь треугольника: \(\boxed{30 \text{ см}^2}\).
Если есть какие-то вопросы по шагам — спрашивайте!
