Давайте подробно разберем задачу и найдем скорость катера.
Дано:
- Время отправления: 12:00
- Время прибытия: 19:00
- Общий пробег в пути: сначала 80 км по течению, затем 99 км обратно.
- Скорость течения реки: 5 км/ч
- Нужно найти собственную скорость катера (без течения).
Шаг 1. Обозначим переменные:
пусть:
- V — собственная скорость катера (км/ч),
- V_r = 5 км/ч — скорость течения,
- Тогда скорость катера по течению: V + V_r,
- Против течения: V - V_r.
Шаг 2. Время движения по каждому участку:
Общий потраченный вирус времени:
[
t_{\text{общий}} = t_1 + t_2.
]
Поскольку отправление было в 12:00, а завершение в 19:00, то:
[
t_{\text{общий}} = 7 \text{ часов}.
]
Шаг 3. Запишем уравнение
[
\frac{80}{V + 5} + \frac{99}{V - 5} = 7.
]
Шаг 4. Решение уравнения
Приведем к общему знаменателю:
[
\frac{80(V - 5) + 99(V + 5)}{(V + 5)(V - 5)} = 7.
]
Раскроем числитель:
[
80V - 80 \times 5 + 99V + 99 \times 5 = 80V - 400 + 99V + 495.
]
Объединим подобные:
[
(80V + 99V) + (-400 + 495) = 179V + 95.
]
Обозначим знаменатель:
[
V^2 - 25,
]
так как ( (V + 5)(V - 5) = V^2 - 25 ).
Запишем уравнение:
[
\frac{179V + 95}{V^2 - 25} = 7.
]
Умножим обе части на (V^2 - 25):
[
179V + 95 = 7(V^2 - 25).
]
Раскроем скобки справа:
[
179V + 95 = 7V^2 - 175.
]
Перенесем все в левую сторону:
[
7V^2 - 179V - 175 - 95 = 0,
]
[
7V^2 - 179V - 270 = 0.
]
Шаг 5. Решение квадратного уравнения
Квадратное уравнение:
[
7V^2 - 179V - 270 = 0.
]
Используем формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac,
]
где (a=7), (b=-179), (c=-270).
Посчитаем дискриминант:
[
D = (-179)^2 - 4 \times 7 \times (-270) = 32041 + 7560 = 39501.
]
Теперь находим корни:
[
V = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{179 \pm \sqrt{39501}}{14}.
]
Посчитаем (\sqrt{39501}): примерно 198.75.
Значит:
[
V_1 = \frac{179 + 198.75}{14} = \frac{377.75}{14} \approx 26.98,
]
[
V_2 = \frac{179 - 198.75}{14} = \frac{-19.75}{14} \approx -1.41.
]
Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем:
[
V \approx 27 \text{ км/ч}.
]
Ответ:
Собственная скорость катера примерно равна 27 км/ч.
