Катер отправился в путь из пункта A A в 12 : 00 12:00 и по течению реки до пункта B B прошёл 80 80 км. Повернув обратно, он прошёл ещё 99 99 км и завершил путешествие в пункте C C…

Давайте подробно разберем задачу и найдем скорость катера.

Дано:

• Время отправления: 12:00
• Время прибытия: 19:00
• Общий пробег в пути: сначала 80 км по течению, затем 99 км обратно.
• Скорость течения реки: 5 км/ч
• Нужно найти собственную скорость катера (без течения).

---

Шаг 1. Обозначим переменные:

пусть:

• V — собственная скорость катера (км/ч),
• V_r = 5 км/ч — скорость течения,
• Тогда скорость катера по течению: V + V_r,
• Против течения: V - V_r.

---

Шаг 2. Время движения по каждому участку:

• Время по течению (от A до B):
  \(\displaystyle t_1 = \frac{80}{V + 5}\).

• Время обратно (от B до C):
  \(\displaystyle t_2 = \frac{99}{V - 5}\).

Общий потраченный вирус времени: \[ t_{\text{общий}} = t_1 + t_2. \]

Поскольку отправление было в 12:00, а завершение в 19:00, то: \[ t_{\text{общий}} = 7 \text{ часов}. \]

Шаг 3. Запишем уравнение

\[ \frac{80}{V + 5} + \frac{99}{V - 5} = 7. \]

---

Шаг 4. Решение уравнения

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{80(V - 5) + 99(V + 5)}{(V + 5)(V - 5)} = 7. \]

Раскроем числитель:

\[ 80V - 80 \times 5 + 99V + 99 \times 5 = 80V - 400 + 99V + 495. \]

Объединим подобные:

\[ (80V + 99V) + (-400 + 495) = 179V + 95. \]

Обозначим знаменатель:

\[ V^2 - 25, \]

так как \( (V + 5)(V - 5) = V^2 - 25 \).

Запишем уравнение:

\[ \frac{179V + 95}{V^2 - 25} = 7. \]

Умножим обе части на \(V^2 - 25\):

\[ 179V + 95 = 7(V^2 - 25). \]

Раскроем скобки справа:

\[ 179V + 95 = 7V^2 - 175. \]

Перенесем все в левую сторону:

\[ 7V^2 - 179V - 175 - 95 = 0, \]

\[ 7V^2 - 179V - 270 = 0. \]

---

Шаг 5. Решение квадратного уравнения

Квадратное уравнение:

\[ 7V^2 - 179V - 270 = 0. \]

Используем формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac, \] где \(a=7\), \(b=-179\), \(c=-270\).

Посчитаем дискриминант:

\[ D = (-179)^2 - 4 \times 7 \times (-270) = 32041 + 7560 = 39501. \]

Теперь находим корни:

\[ V = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{179 \pm \sqrt{39501}}{14}. \]

Посчитаем \(\sqrt{39501}\): примерно 198.75.

Значит:

\[ V_1 = \frac{179 + 198.75}{14} = \frac{377.75}{14} \approx 26.98, \] \[ V_2 = \frac{179 - 198.75}{14} = \frac{-19.75}{14} \approx -1.41. \]

Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем:

\[ V \approx 27 \text{ км/ч}. \]

---

Ответ:

Собственная скорость катера примерно равна 27 км/ч.