В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB=24 площадь равна 72. Найди меньший острый угол этого треугольника. Ответ запиши в градусах.

Для решения задачи давайте сначала обозначим стороны и углы треугольника, а затем пошагово рассчитаем меньший острый угол.

Шаг 1. Обозначение сторон и углов:

• Пусть в прямоугольном треугольнике \( ABC \):
  • \( AB \) — гипотенуза, равна 24.
  • \( AC \) и \( BC \) — катеты.
• Обозначим острый угол, который нужно найти, как \( \alpha \), например, противоположный катету \( AC \).

Шаг 2. Связь гипотенузы с катетами:

• В прямоугольном треугольнике гипотенуза связана с катетами по формуле Пифагората: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Шаг 3. Использование площади:

• Площадь треугольника равна 72: \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = 72 \]
• Тогда: \[ AC \times BC = 144 \]

Обозначим: \[ AC = x, \quad BC = y \] Тогда: \[ x \times y = 144 \] и \[ x^2 + y^2 = 24^2 = 576 \]

Шаг 4. Решение системы уравнений: \[ x y = 144 \] \[ x^2 + y^2 = 576 \]

Выразим \( y \) через \( x \): \[ y = \frac{144}{x} \]

Подставим в уравнение для суммы квадратов: \[ x^2 + \left(\frac{144}{x}\right)^2 = 576 \] \[ x^2 + \frac{20736}{x^2} = 576 \]

Обозначим: \[ t = x^2 \]

Тогда: \[ t + \frac{20736}{t} = 576 \] умножим на \( t \): \[ t^2 + 20736 = 576 t \] перенесем все в левую часть: \[ t^2 - 576 t + 20736 = 0 \]

Шаг 5. Решение квадратного уравнения: Дискриминант: \[ D = (576)^2 - 4 \times 1 \times 20736 \] \[ D = 331776 - 82944 = 248832 \]

Рассчитаем корни: \[ t = \frac{576 \pm \sqrt{248832}}{2} \]

Найдем \(\sqrt{248832}\):

Поскольку \( 496^2 = 246016 \), а \( 498^2 = 248004 \):

Чтобы точно найти \(\sqrt{248832}\), заметим, что:

\[ 496.83^2 \approx 248832 \] = приблизительно 496.83.

Для практических целей достаточно примерно.

Теперь запишем корни: \[ t_1 = \frac{576 + 496.83}{2} \approx \frac{1072.83}{2} \approx 536.415 \] \[ t_2 = \frac{576 - 496.83}{2} \approx \frac{79.17}{2} \approx 39.585 \]

Так как \( t = x^2 \), возьмем положительные корни и найдём соответствующие \( x \): \[ x = \sqrt{t} \]

• Для \( t \approx 536.415 \): \[ x \approx \sqrt{536.415} \approx 23.16 \]
• Для \( t \approx 39.585 \): \[ x \approx \sqrt{39.585} \approx 6.29 \]

Итак, возможные значения катетов: \[ (AC, BC) \approx (23.16, 6.29) \quad \text{или} \quad (6.29, 23.16) \]

Шаг 6. Определение меньшего острого угла:

• Острый угол \(\alpha\) противоположен меньшему катету. Итак, чтобы найти меньший острый угол, возьмем меньший катет — около 6.29.
• Угол \( \alpha \) можно найти из формулы: \[ \sin \alpha = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}} \approx \frac{6.29}{24} \] \[ \sin \alpha \approx 0.262 \]
• Тогда: \[ \alpha \approx \arcsin(0.262) \approx 15.2^\circ \]

или, чтобы убедиться, можно найти через косинус другого угла, но это не обязательно.

Ответ: Меньший острый угол примерно равен 15 градусов.

Если нужно более точное значение, можно оставить в виде: \[ \boxed{\alpha \approx 15^\circ} \]