\cos \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{3\pi}{4} - \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{12}
Давайте решим выражение:
\[
\cos \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{3\pi}{4} - \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{12}
\]
Цель: понять и подробно решить.
Шаг 1: Упростим каждую тригонометрическую функцию отдельно.
1. \(\cos \frac{7\pi}{12}\)
Обратим внимание, что
\[
\frac{7\pi}{12} = \frac{12\pi}{12} - \frac{5\pi}{12} = \pi - \frac{5\pi}{12}
\]
Используем формулу:
\[
\cos(\pi - x) = -\cos x
\]
Тогда
\[
\cos \frac{7\pi}{12} = -\cos \frac{5\pi}{12}
\]
Рассчитаем \(\cos \frac{5\pi}{12}\):
\[ \frac{5\pi}{12} = 75^\circ \]
Известно, что:
\[ \cos 75^\circ = \cos (45^\circ + 30^\circ) \\ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ \]
Подставляем значения:
\[ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \]
Тогда:
\[ \cos 75^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]
Следовательно:
\[ \cos \frac{7\pi}{12} = - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]
2. \(\cos \frac{3\pi}{4}\)
Известно, что
\[ \cos 135^\circ = - \frac{\sqrt{2}}{2} \]
или в радианах:
\[ \cos \frac{3\pi}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \]
3. \(\sqrt{3} \sin \frac{\pi}{12}\)
Обратим внимание:
\[
\frac{\pi}{12} = 15^\circ
\]
Значение \(\sin 15^\circ\):
\[ \sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) \\ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \]
Подставим известные значения:
\[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \]
Теперь:
\[ \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]
Следовательно:
\[ \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{12} = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]
Шаг 2: Собираем всё вместе
Общий вид:
\[ \left(- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) - \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]
Перепишем:
\[ - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \]
Шаг 3: Приведём к общему знаменателю и упростим
Общий знаменатель: 4
Первый и третий слагаемые уже разделены на 4, выразим второе:
\[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{4} \]
Теперь:
\[ - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{2\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \]
Объединим всё под одним знаменателем:
\[ \frac{ - (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} - \sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) }{4} \]
Распределим знак минус в первом и третьем слагаемых:
\[ = \frac{ - \sqrt{6} + \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - \sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2} }{4} \]
Объединим подобные члены:
\[ = \frac{ - \sqrt{6} - \sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{3} \sqrt{2} }{4} \]
Шаг 4: Упростим каждую группу
- \(- \sqrt{6} - \sqrt{3} \sqrt{6}\)
Заметим, что:
\[ \sqrt{3} \sqrt{6} = \sqrt{3 \times 6} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \]
Также:
\[ \sqrt{6} = \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{2} \sqrt{3} \]
Тогда:
\[ - \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} = - \sqrt{2} \sqrt{3} - 3 \sqrt{2} = - \sqrt{2} (\sqrt{3} + 3) \]
- Остальные члены:
\[ \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = 3 \sqrt{2} \] \[ \sqrt{3} \sqrt{2} = \sqrt{6} \]
Итоговая сумма в числителе:
\[ - \sqrt{2} (\sqrt{3} + 3) + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6} \]
Объединим:
\[ - \sqrt{2} \sqrt{3} - 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6} \]
Здесь \(- 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} = 0\), значит остается:
\[ - \sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{6} \]
Но замечаем, что:
\[ \sqrt{2} \sqrt{3} = \sqrt{6} \]
Следовательно:
\[ - \sqrt{6} + \sqrt{6} = 0 \]
Итог:
числитель равен 0.
Ответ:
\[ \boxed{0} \]
Если есть желание более подробно разобрать любой этап — обращайтесь!
