\cos \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{3\pi}{4} - \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{12}

Давайте решим выражение: \[ \cos \frac{7\pi}{12} - \cos \frac{3\pi}{4} - \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{12} \] **Цель:** понять и подробно решить. --- ### Шаг 1: Упростим каждую тригонометрическую функцию отдельно. #### 1. \(\cos \frac{7\pi}{12}\) Обратим внимание, что \[ \frac{7\pi}{12} = \frac{12\pi}{12} - \frac{5\pi}{12} = \pi - \frac{5\pi}{12} \] Используем формулу: \[ \cos(\pi - x) = -\cos x \] Тогда \[ \cos \frac{7\pi}{12} = -\cos \frac{5\pi}{12} \] Рассчитаем \(\cos \frac{5\pi}{12}\): \[ \frac{5\pi}{12} = 75^\circ \] Известно, что: \[ \cos 75^\circ = \cos (45^\circ + 30^\circ) \\ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ \] Подставляем значения: \[ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] Тогда: \[ \cos 75^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] Следовательно: \[ \cos \frac{7\pi}{12} = - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] --- #### 2. \(\cos \frac{3\pi}{4}\) Известно, что \[ \cos 135^\circ = - \frac{\sqrt{2}}{2} \] или в радианах: \[ \cos \frac{3\pi}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \] --- #### 3. \(\sqrt{3} \sin \frac{\pi}{12}\) Обратим внимание: \[ \frac{\pi}{12} = 15^\circ \] Значение \(\sin 15^\circ\): \[ \sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) \\ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \] Подставим известные значения: \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] Теперь: \[ \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] Следовательно: \[ \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{12} = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] --- ### Шаг 2: Собираем всё вместе Общий вид: \[ \left(- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) - \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] Перепишем: \[ - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \] --- ### Шаг 3: Приведём к общему знаменателю и упростим Общий знаменатель: 4 Первый и третий слагаемые уже разделены на 4, выразим второе: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{4} \] Теперь: \[ - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{2\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \] Объединим всё под одним знаменателем: \[ \frac{ - (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} - \sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) }{4} \] Распределим знак минус в первом и третьем слагаемых: \[ = \frac{ - \sqrt{6} + \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - \sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2} }{4} \] Объединим подобные члены: \[ = \frac{ - \sqrt{6} - \sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{3} \sqrt{2} }{4} \] --- ### Шаг 4: Упростим каждую группу 1. \(- \sqrt{6} - \sqrt{3} \sqrt{6}\) Заметим, что: \[ \sqrt{3} \sqrt{6} = \sqrt{3 \times 6} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \] Также: \[ \sqrt{6} = \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{2} \sqrt{3} \] Тогда: \[ - \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} = - \sqrt{2} \sqrt{3} - 3 \sqrt{2} = - \sqrt{2} (\sqrt{3} + 3) \] 2. Остальные члены: \[ \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = 3 \sqrt{2} \] \[ \sqrt{3} \sqrt{2} = \sqrt{6} \] --- ### Итоговая сумма в числителе: \[ - \sqrt{2} (\sqrt{3} + 3) + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6} \] Объединим: \[ - \sqrt{2} \sqrt{3} - 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6} \] Здесь \(- 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} = 0\), значит остается: \[ - \sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{6} \] Но замечаем, что: \[ \sqrt{2} \sqrt{3} = \sqrt{6} \] Следовательно: \[ - \sqrt{6} + \sqrt{6} = 0 \] ### Итог: числитель равен 0. --- ### **Ответ:** \[ \boxed{0} \] --- Если есть желание более подробно разобрать любой этап — обращайтесь!