КамАЗ движется по главной дороге и на участке дороги с ограничением скорости движется равномерно и прямолинейно, соблюдая скоростной режим. Достигнув перекрестка (конец…
КамАЗ движется по главной дороге и на участке дороги с ограничением скорости движется равномерно и прямолинейно, соблюдая скоростной режим. Достигнув перекрестка (конец ограничения скорости) машина начинает ускоряться следующим образом: за 4 с проходит 70 м, а потом за5 с — 120м С точностью до десятых определи а) начальную скорость грузовика: 0 М/С. б) ускорение грузовика:а M/с2
Рассмотрим задачу поэтапно. Для начала определим все известные данные и обозначения.
Дано:
- Машина движется равномерно и прямолинейно до перекрестка (скорость постоянная).
- После перекрестка начинается разгон:
- За 4 с проходит 70 м,
- За 5 с проходит 120 м.
Построим модель для разгоняющейся части дороги.
Часть (a): Определение начальной скорости \( v_0 \)
Мы предполагаем, что перед началом разгона скорость грузовика постоянна и равна \( v_0 \).
После перекрестка грузовик начинает разгоняться, двигаясь с начальной скоростью \( v_0 \), ускоряясь с постоянным ускорением \( a \).
Дано в условии:
- Время разгона: \( t_1 = 4\,с \)
- Пройденное за это время расстояние: \( s_1 = 70\,м \)
- Время разгона после этого: \( t_2 = 5\,с \)
- Пройденное за эти 5 с расстояние: \( s_2 = 120\,м \)
Часть (b): Определение ускорения \( a \)
Для разгоняющегося тела в течение времени \( t \), пройденное расстояние \( s \) при начальной скорости \( v_0 \) и постоянном ускорении \( a \) описывается формулой:
\[ s = v_0 t + \frac{a t^2}{2} \]
Также, поскольку нагрузка за время \( t_1 \) и \( t_2 \) отличаются — используем те же формулы для каждого интервала.
Шаг 1: Запишем уравнения для каждого интервала.
Первый интервал (0-4 с):
Расстояние \( s_1 = 70\,м \) за \( t_1 = 4\,с \):
\[ 70 = v_0 \times 4 + \frac{a \times 4^2}{2} \] \[ 70 = 4v_0 + 8a \quad (1) \]
Второй интервал (с 4 до 9 с):
За следующие 5 секунд (с 4 до 9 с) пройдено еще 120 м, то есть за это время:
\[
s_{2} = 120\,м
\]
Но расстояние за 5 с — это разница между пройденным за 9 с и за 4 с.
Только за 5 с, начиная с момента, когда грузовик начал разгоняться?
Да,— в условии указано, что после перекрестка грузовик начинает разгоняться.
Предположим, что стартовая скорость в момент начала разгона — \( v_0 \).
Тогда за 5 секунд (с 4 по 9 с) пройдено \( s_2 = 120\,м \):
\[ s_2 = v_{4} \times 5 + \frac{a \times 5^2}{2} \] где \( v_{4} \) — скорость в конце первого интервала:
\[ v_{4} = v_0 + a \times 4 \]
Подставим:
\[ 120 = (v_0 + 4a) \times 5 + \frac{a \times 25}{2} \] \[ 120 = 5v_0 + 20a + 12.5a \] \[ 120 = 5v_0 + 32.5a \quad (2) \]
Шаг 2: Решаем систему уравнений (1) и (2)
Из уравнения (1):
\[ 70 = 4v_0 + 8a \]
Из уравнения (2):
\[ 120 = 5v_0 + 32.5a \]
Выразим \( v_0 \) из (1):
\[ 4v_0 = 70 - 8a \Rightarrow v_0 = \frac{70 - 8a}{4} = 17.5 - 2a \]
Подставим это в уравнение (2):
\[ 120 = 5(17.5 - 2a) + 32.5a \] \[ 120 = 87.5 - 10a + 32.5a \] \[ 120 = 87.5 + 22.5a \]
Теперь решим относительно \( a \):
\[ 22.5a = 120 - 87.5 = 32.5 \] \[ a = \frac{32.5}{22.5} \approx 1.444\ \text{м/с}^2 \]
Шаг 3: Найдём начальную скорость \( v_0 \)
Подставляем \( a \approx 1.444 \):
\[ v_0 = 17.5 - 2 \times 1.444 \approx 17.5 - 2.888 = 14.612\,\text{м/с} \]
Ответы:
a) Начальная скорость грузовика:
\[
\boxed{v_0 \approx 14.6\,м/с}
\]
б) Ускорение грузовика:
\[
\boxed{a \approx 1.4\,м/с^2}
\]
Если нужен более точный ответ — можно оставить числа с дополнительными знаками.
