Рассмотрим задачу поэтапно. Для начала определим все известные данные и обозначения.
Дано:
- Машина движется равномерно и прямолинейно до перекрестка (скорость постоянная).
- После перекрестка начинается разгон:
- За 4 с проходит 70 м,
- За 5 с проходит 120 м.
Построим модель для разгоняющейся части дороги.
Часть (a): Определение начальной скорости ( v_0 )
Мы предполагаем, что перед началом разгона скорость грузовика постоянна и равна ( v_0 ).
После перекрестка грузовик начинает разгоняться, двигаясь с начальной скоростью ( v_0 ), ускоряясь с постоянным ускорением ( a ).
Дано в условии:
- Время разгона: ( t_1 = 4,с )
- Пройденное за это время расстояние: ( s_1 = 70,м )
- Время разгона после этого: ( t_2 = 5,с )
- Пройденное за эти 5 с расстояние: ( s_2 = 120,м )
Часть (b): Определение ускорения ( a )
Для разгоняющегося тела в течение времени ( t ), пройденное расстояние ( s ) при начальной скорости ( v_0 ) и постоянном ускорении ( a ) описывается формулой:
[
s = v_0 t + \frac{a t^2}{2}
]
Также, поскольку нагрузка за время ( t_1 ) и ( t_2 ) отличаются — используем те же формулы для каждого интервала.
Шаг 1: Запишем уравнения для каждого интервала.
Первый интервал (0-4 с):
Расстояние ( s_1 = 70,м ) за ( t_1 = 4,с ):
[
70 = v_0 \times 4 + \frac{a \times 4^2}{2}
]
[
70 = 4v_0 + 8a \quad (1)
]
Второй интервал (с 4 до 9 с):
За следующие 5 секунд (с 4 до 9 с) пройдено еще 120 м, то есть за это время:
[
s_{2} = 120,м
]
Но расстояние за 5 с — это разница между пройденным за 9 с и за 4 с.
Только за 5 с, начиная с момента, когда грузовик начал разгоняться?
Да,— в условии указано, что после перекрестка грузовик начинает разгоняться.
Предположим, что стартовая скорость в момент начала разгона — ( v_0 ).
Тогда за 5 секунд (с 4 по 9 с) пройдено ( s_2 = 120,м ):
[
s_2 = v_{4} \times 5 + \frac{a \times 5^2}{2}
]
где ( v_{4} ) — скорость в конце первого интервала:
[
v_{4} = v_0 + a \times 4
]
Подставим:
[
120 = (v_0 + 4a) \times 5 + \frac{a \times 25}{2}
]
[
120 = 5v_0 + 20a + 12.5a
]
[
120 = 5v_0 + 32.5a \quad (2)
]
Шаг 2: Решаем систему уравнений (1) и (2)
Из уравнения (1):
[
70 = 4v_0 + 8a
]
Из уравнения (2):
[
120 = 5v_0 + 32.5a
]
Выразим ( v_0 ) из (1):
[
4v_0 = 70 - 8a \Rightarrow v_0 = \frac{70 - 8a}{4} = 17.5 - 2a
]
Подставим это в уравнение (2):
[
120 = 5(17.5 - 2a) + 32.5a
]
[
120 = 87.5 - 10a + 32.5a
]
[
120 = 87.5 + 22.5a
]
Теперь решим относительно ( a ):
[
22.5a = 120 - 87.5 = 32.5
]
[
a = \frac{32.5}{22.5} \approx 1.444\ \text{м/с}^2
]
Шаг 3: Найдём начальную скорость ( v_0 )
Подставляем ( a \approx 1.444 ):
[
v_0 = 17.5 - 2 \times 1.444 \approx 17.5 - 2.888 = 14.612,\text{м/с}
]
Ответы:
a) Начальная скорость грузовика:
[
\boxed{v_0 \approx 14.6,м/с}
]
б) Ускорение грузовика:
[
\boxed{a \approx 1.4,м/с^2}
]
Если нужен более точный ответ — можно оставить числа с дополнительными знаками.
