Давайте разберемся с задачей пошагово.
Дано:
- ( N_0 ) — начальное число распавшихся ядер.
- ( N ) — число распавшихся ядер за время ( t ).
- Нужно найти отношение ( \frac{N_0 - N}{N_0} ) за время, равное 0,48 периода полураспада (( T_{1/2} )).
Шаг 1. Закон радиоактивного распада
Количество ядер, оставшихся невскрытыми после времени ( t ):
[
N(t) = N_0 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}
]
Количество распавшихся ядер:
[
N = N_0 - N(t) = N_0 - N_0 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} = N_0 \left[ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} \right]
]
Шаг 2. Вычисление (\frac{N_0 - N}{N_0})
Подставим:
[
\frac{N_0 - N}{N_0} = 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}
]
Так как ( t = 0.48 T_{1/2} ):
[
\frac{N_0 - N}{N_0} = 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{0.48}
]
Шаг 3. Вычисление числового значения
Нам нужно найти значение:
[
x = \left( \frac{1}{2} \right)^{0.48}
]
Используем логарифмы:
[
x = e^{0.48 \cdot \ln(0.5)}
]
Значения:
[
\ln(0.5) \approx -0.6931
]
[
x = e^{0.48 \times (-0.6931)} = e^{-0.3322} \approx 0.717
]
(При округлении до трех знаков после запятой)
Шаг 4. Итоговое значение
Теперь:
[
\frac{N_0 - N}{N_0} = 1 - 0.717 = 0.283
]
Ответ:
Относительное число распавшихся ядер за время 0,48 периода равно (\boxed{0,28}) (округлено до сотых).
