Эта задача — задача на комбинаторику. Нам нужно найти количество способов выбрать 13 учеников из 20, то есть количество сочетаний без повторений.
Обозначим:
- Общее число учеников: (n = 20)
- Число учеников, которых нужно выбрать: (k = 13)
Формула для вычисления числа сочетаний выглядит так:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \times (n - k)!}
]
Где:
- (n!) — факториал числа (n),
- (k!) — факториал числа (k),
- ((n - k)!) — факториал разницы.
Подставим числа:
[
C(20, 13) = \frac{20!}{13! \times (20-13)!} = \frac{20!}{13! \times 7!}
]
Шаги решения:
- Запишем число сочетаний:
[
C(20, 13) = \frac{20!}{13! \times 7!}
]
- Для удобства можно представить это как:
[
C(20, 13) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}
]
Потому что большая часть факториалов сокращается.
- Вычислим числитель:
[
20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14
]
- Вычислим знаменатель:
[
7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040
]
Расчёт числителя:
- (20 \times 19 = 380)
- (380 \times 18 = 6840)
- (6840 \times 17 = 116280)
- (116280 \times 16 = 1860480)
- (1860480 \times 15 = 27907200)
- (27907200 \times 14 = 390700800)
Таким образом, числитель равен 390700800.
Итог:
[
C(20, 13) = \frac{390700800}{5040}
]
Произведём деление:
[
\frac{390700800}{5040} \approx 77520
]
Итак, ответ:
Учитель может выбрать 13 школьников из 20 способами: 77 520 способов.
Если нужно более точное выразительное объяснение, могу ещё подробнее!
