В классе 20 учеников. Для участия в школьной эстафете необходимо выбрать 13 школьников. Сколькими способами учитель может сделать свой выбор?

Эта задача — задача на комбинаторику. Нам нужно найти количество способов выбрать 13 учеников из 20, то есть количество сочетаний без повторений.

Обозначим:

• Общее число учеников: \(n = 20\)
• Число учеников, которых нужно выбрать: \(k = 13\)

Формула для вычисления числа сочетаний выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \times (n - k)!} \]

Где:

• \(n!\) — факториал числа \(n\),
• \(k!\) — факториал числа \(k\),
• \((n - k)!\) — факториал разницы.

Подставим числа:

\[ C(20, 13) = \frac{20!}{13! \times (20-13)!} = \frac{20!}{13! \times 7!} \]

Шаги решения:

1. Запишем число сочетаний:

\[ C(20, 13) = \frac{20!}{13! \times 7!} \]

2. Для удобства можно представить это как:

\[ C(20, 13) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

Потому что большая часть факториалов сокращается.

3. Вычислим числитель:

\[ 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \]

4. Вычислим знаменатель:

\[ 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \]

Расчёт числителя:

• \(20 \times 19 = 380\)
• \(380 \times 18 = 6840\)
• \(6840 \times 17 = 116280\)
• \(116280 \times 16 = 1860480\)
• \(1860480 \times 15 = 27907200\)
• \(27907200 \times 14 = 390700800\)

Таким образом, числитель равен 390700800.

Итог:

\[ C(20, 13) = \frac{390700800}{5040} \]

Произведём деление:

\[ \frac{390700800}{5040} \approx 77520 \]

Итак, ответ:

Учитель может выбрать 13 школьников из 20 способами: 77 520 способов.

Если нужно более точное выразительное объяснение, могу ещё подробнее!