1.Теплоход рассчитан на 1000 пассажиров и 30 члено команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 50 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в…

Конечно! Ниже я подготовил подробные решения всех заданий, учитывая, что целью является понимание процесса.

---

1. Теплоход рассчитан на 1000 пассажиров и 30 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 50 человек. Какое минимальное число шлюпок нужно, чтобы разместить всех пассажиров и членов команды?

Решение:

• Общее число людей: пассажиры + команда = 1000 + 30 = 1030 человек.
• Вместимость одной шлюпки: 50 человек.
• Необходимое число шлюпок: делим общее число людей на вместимость шлюпки и округляем в большую сторону (так как часть людей требует отдельной шлюпки):

\[ \text{Число шлюпок} = \left\lceil \frac{1030}{50} \right\rceil = \left\lceil 20.6 \right\rceil = 21. \]

Ответ: 21 шлюпка.

---

2. Найдите корень уравнения: \(38 - x = 27.\)

Решение:

• Переносим 27 в левую часть:

\[ 38 - x = 27 \]

• Вычитаем 38 из обеих частей:

\[ - x = 27 - 38 = -11 \]

• Умножаем обе части на -1, чтобы найти \(x\):

\[ x = 11 \]

Ответ: \(x = 11\).

---

3. Найти все первообразные для функции \( y = x^3 + 2 \).

Обоснование:

• Для нахождения первообразной, нужно интегрировать функцию:

\[ Y = \int (x^3 + 2) dx \]

• Используем свойства интегральных сумм:

\[ Y = \int x^3 dx + \int 2 dx \]

• Правила интегрирования:

\[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{где } n \neq -1 \]

• Значит:

\[ \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} \] \[ \int 2 dx = 2x \]

• Итоговая первообразная:

\[ Y = \frac{x^4}{4} + 2x + C, \] где \(C\) — произвольная константа.

Ответ: \(\boxed{\frac{x^4}{4} + 2x + C}\).

---

4. Найдите область определения функции \( y = \log (1 - 5x) \).

Обоснование:

• Логарифм определён только при положительном аргументе:

\[ 1 - 5x > 0, \] что равно

\[ -5x > -1, \] или

\[ x < \frac{1}{5}. \]

Ответ: \(\boxed{(-\infty, \frac{1}{5})}\).

---

5. Найдите наименьший положительный период функции \( y = \cos 4x \).

Решение:

• Общий период функции косинуса \( \cos kx \) равен \(\frac{2\pi}{k}\).
• Здесь \(k=4\), значит:

\[ T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}. \]

Ответ: \(\boxed{\frac{\pi}{2}}\).

---

6. Вычислите интеграл: \(\int (2x - 3x^2) dx\).

Решение:

• По правилам интегрирования:

\[ \int 2x dx = x^2, \] \[ \int (-3x^2) dx = -x^3, \]

• Итог:

\[ \int (2x - 3x^2) dx = x^2 - x^3 + C. \]

Ответ: \(\boxed{x^2 - x^3 + C}\).

---

7. Найдите промежутки убывания функции \( J(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x - 6 \).

Обоснование:

1. Вычислим первую производную:

\[ J'(x) = -\frac{2}{3}x + 2. \]

2. Находим точки критические (где \(J'(x)=0\)):

\[ -\frac{2}{3}x + 2 = 0, \] \[ -\frac{2}{3}x = -2, \] \[ x = \frac{-2}{-\frac{2}{3}} = \frac{-2 \times 3}{-2} = 3. \]

3. Определим знаки производной:

• Для \(x<3\):

\[ J'(x) = -\frac{2}{3}x + 2, \] подставим, например, \(x=0\):

\[ J'(0)= 2 > 0, \] значит, функция возрастает.

• Для \(x>3\):

\[ x=4, \] \[ J'(4)= -\frac{2}{3}\times4 + 2 = -\frac{8}{3} + 2 = -\frac{8}{3} + \frac{6}{3} = -\frac{2}{3}<0, \] значит, функция убывает.

Ответ: функция убывает на промежутке \((3, \infty)\).

---

8. Две бригады, работая вместе, могут выполнить задание за 8 часов. Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить задание на 12 часов быстрее, чем вторая. За сколько часов могла бы выполнить задание первая бригада, если бы работала одна?

Обоснование:

Обозначим:

• Время работы первой бригады — \(x\) часов,
• Второй — \(x+12\) часов.

Рабочие ставки: \[ \text{Первая: } \frac{1}{x}, \] \[ \text{Вторая: } \frac{1}{x+12}. \] Общие ставки вместе:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+12} = \frac{1}{8}. \]

Решаем уравнение:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+12} = \frac{1}{8}. \]

Общий знаменатель:

\[ \frac{(x+12) + x}{x(x+12)} = \frac{1}{8}, \]

\[ \frac{2x + 12}{x(x+12)} = \frac{1}{8}. \]

Перемножаем обе части на \(8x(x+12)\): \[ 8(2x + 12) = x(x+12), \] \[ 16x + 96 = x^2 + 12x, \] Переносим все в левую сторону:

\[ x^2 + 12x - 16x - 96 = 0, \] \[ x^2 - 4x - 96 = 0. \]

Решение квадратного уравнения:

\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times (-96)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 384}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{400}}{2}. \]

\[ x = \frac{4 \pm 20}{2}. \]

Два варианта:

• \(x = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12\),
• \(x = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8\) (отрицательное время — несмыслимо).

Итак, \(x=12\) часов.

Ответ: Первая бригада могла бы выполнить задание за 12 часов.

---

Если нужно, я могу дополнительно объяснить любые этапы решения!