1.Теплоход рассчитан на 1000 пассажиров и 30 члено команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 50 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды? 2.Найдите корень уравнення: 38-x = 27. 3. Найти все первообразные для функции у = x3 +2. 4. Найдите область определения функции у = Ig(1) - 5x). X 5. Найдите наименьший положительный период функции y = cos 4 I часть (4 балла) Решение заданий б - 7 может иметь краткую запись без обоснования. Правильное решение каждого задания оценивается двумя баллами. 6. Вычислите интеграл + 2x-3x2 dx. 7. Найдите промежутки убывания функции J(x)=_13 x2 + 2x-6. 3 2 ШI часть (3 балла) Решение 8 задания должно иметь обоснование. Необходимо записать последовательные логические действия и объяснения. Правильное решение задания оценивается тремя баллами. 8. Две бригады, работая вместе, могут выполнить задание за 8 ч. Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить задание на 12 ч быстрее, чем вторая бригада. За сколько часов могла бы выполнить задание первая бригада, если бы она работала одна?

Конечно! Ниже я подготовил подробные решения всех заданий, учитывая, что целью является понимание процесса. --- ### 1. Теплоход рассчитан на 1000 пассажиров и 30 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 50 человек. Какое минимальное число шлюпок нужно, чтобы разместить всех пассажиров и членов команды? **Решение:** - Общее число людей: пассажиры + команда = 1000 + 30 = 1030 человек. - Вместимость одной шлюпки: 50 человек. - Необходимое число шлюпок: делим общее число людей на вместимость шлюпки и округляем в большую сторону (так как часть людей требует отдельной шлюпки): \[ \text{Число шлюпок} = \left\lceil \frac{1030}{50} \right\rceil = \left\lceil 20.6 \right\rceil = 21. \] **Ответ:** **21 шлюпка.** --- ### 2. Найдите корень уравнения: \(38 - x = 27.\) **Решение:** - Переносим 27 в левую часть: \[ 38 - x = 27 \] - Вычитаем 38 из обеих частей: \[ - x = 27 - 38 = -11 \] - Умножаем обе части на -1, чтобы найти \(x\): \[ x = 11 \] **Ответ:** **\(x = 11\).** --- ### 3. Найти все первообразные для функции \( y = x^3 + 2 \). **Обоснование:** - Для нахождения первообразной, нужно интегрировать функцию: \[ Y = \int (x^3 + 2) dx \] - Используем свойства интегральных сумм: \[ Y = \int x^3 dx + \int 2 dx \] - Правила интегрирования: \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{где } n \neq -1 \] - Значит: \[ \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} \] \[ \int 2 dx = 2x \] - Итоговая первообразная: \[ Y = \frac{x^4}{4} + 2x + C, \] где \(C\) — произвольная константа. **Ответ:** \(\boxed{\frac{x^4}{4} + 2x + C}\). --- ### 4. Найдите область определения функции \( y = \log (1 - 5x) \). **Обоснование:** - Логарифм определён только при положительном аргументе: \[ 1 - 5x > 0, \] что равно \[ -5x > -1, \] или \[ x < \frac{1}{5}. \] **Ответ:** \(\boxed{(-\infty, \frac{1}{5})}\). --- ### 5. Найдите наименьший положительный период функции \( y = \cos 4x \). **Решение:** - Общий период функции косинуса \( \cos kx \) равен \(\frac{2\pi}{k}\). - Здесь \(k=4\), значит: \[ T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}. \] **Ответ:** \(\boxed{\frac{\pi}{2}}\). --- ### 6. Вычислите интеграл: \(\int (2x - 3x^2) dx\). **Решение:** - По правилам интегрирования: \[ \int 2x dx = x^2, \] \[ \int (-3x^2) dx = -x^3, \] - Итог: \[ \int (2x - 3x^2) dx = x^2 - x^3 + C. \] **Ответ:** \(\boxed{x^2 - x^3 + C}\). --- ### 7. Найдите промежутки убывания функции \( J(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x - 6 \). **Обоснование:** 1. **Вычислим первую производную:** \[ J'(x) = -\frac{2}{3}x + 2. \] 2. **Находим точки критические (где \(J'(x)=0\)):** \[ -\frac{2}{3}x + 2 = 0, \] \[ -\frac{2}{3}x = -2, \] \[ x = \frac{-2}{-\frac{2}{3}} = \frac{-2 \times 3}{-2} = 3. \] 3. **Определим знаки производной:** - Для \(x<3\): \[ J'(x) = -\frac{2}{3}x + 2, \] подставим, например, \(x=0\): \[ J'(0)= 2 > 0, \] значит, функция возрастает. - Для \(x>3\): \[ x=4, \] \[ J'(4)= -\frac{2}{3}\times4 + 2 = -\frac{8}{3} + 2 = -\frac{8}{3} + \frac{6}{3} = -\frac{2}{3}<0, \] значит, функция убывает. **Ответ:** **функция убывает на промежутке \((3, \infty)\).** --- ### 8. Две бригады, работая вместе, могут выполнить задание за 8 часов. Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить задание на 12 часов быстрее, чем вторая. За сколько часов могла бы выполнить задание первая бригада, если бы работала одна? **Обоснование:** Обозначим: - Время работы первой бригады — \(x\) часов, - Второй — \(x+12\) часов. Рабочие ставки: \[ \text{Первая: } \frac{1}{x}, \] \[ \text{Вторая: } \frac{1}{x+12}. \] Общие ставки вместе: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+12} = \frac{1}{8}. \] Решаем уравнение: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+12} = \frac{1}{8}. \] Общий знаменатель: \[ \frac{(x+12) + x}{x(x+12)} = \frac{1}{8}, \] \[ \frac{2x + 12}{x(x+12)} = \frac{1}{8}. \] Перемножаем обе части на \(8x(x+12)\): \[ 8(2x + 12) = x(x+12), \] \[ 16x + 96 = x^2 + 12x, \] Переносим все в левую сторону: \[ x^2 + 12x - 16x - 96 = 0, \] \[ x^2 - 4x - 96 = 0. \] Решение квадратного уравнения: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times (-96)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 384}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{400}}{2}. \] \[ x = \frac{4 \pm 20}{2}. \] Два варианта: - \(x = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12\), - \(x = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8\) (отрицательное время — несмыслимо). **Итак, \(x=12\) часов.** **Ответ:** **Первая бригада могла бы выполнить задание за 12 часов.** --- Если нужно, я могу дополнительно объяснить любые этапы решения!