Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- В коробке 16 карандашей и 16 фломастеров, всего 32 предмета.
- Из неё выбирают два предмета случайным образом.
- Нужно найти вероятность того, что оба выбранных предмета — это либо оба карандаша, либо оба фломастера.
Шаг 1. Общее число способов выбрать 2 предмета из 32
Общее число способов выбрать любые 2 предмета из 32 — это сочетание:
[
C_{32}^{2} = \frac{32!}{2!(32-2)!} = \frac{32 \times 31}{2} = 16 \times 31 = 496
]
Шаг 2. Число способов выбрать два карандаша
В коробке 16 карандашей, выбрать 2 из них:
[
C_{16}^{2} = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16 \times 15}{2} = 8 \times 15 = 120
]
Шаг 3. Число способов выбрать два фломастера
Аналогично, для фломастеров:
[
C_{16}^{2} = 120
]
Шаг 4. Общее число благоприятных исходов
Так как события "выбрать два карандаша" и "выбрать два фломастера" не пересекаются, суммируем:
[
120 + 120 = 240
]
Шаг 5. Вычисляем вероятность
Вероятность того, что выбранные предметы — оба карандаша либо оба фломастера:
[
P = \frac{\text{число благоприятных случаев}}{\text{общее число случаев}} = \frac{240}{496}
]
Сократим дробь:
[
\frac{240}{496} = \frac{120}{248} = \frac{60}{124} = \frac{30}{62} = \frac{15}{31}
]
Ответ:
[
\boxed{\frac{15}{31}}
]
Это вероятность того, что выбранные два предмета — оба карандаша или оба фломастера.
