В равностороннем треугольнике проведены две медианы. Найдите острый угол между ними.
Давайте решим задачу step-by-step и подробно объясним каждый шаг.
Задача:
В равностороннем треугольнике проведены две медианы. Нужно найти острый угол между этими медианами.
Шаг 1. Вспомним свойства равностороннего треугольника
- Все стороны равны.
- Все углы равны (по 60°).
- Медианы в равностороннем треугольнике совпадают с высотами и биссектрисами.
- Каждая медиана делит треугольник на два равных по площади и по форме треугольника.
Шаг 2. Введение точек и обозначения
Обозначим треугольник как \( ABC \), сторона которого равна \( a \). Пусть \( M \) — середина стороны \( AB \), а \( N \) — середина стороны \( AC \). Тогда:
- \( M \) — середина \( AB \),
- \( N \) — середина \( AC \).
Медианы — это отрезки, соединяющие вершины с серединами противоположных сторон:
- Первая медиана: от вершины \( A \) к \( M \),
- Вторая медиана: от вершины \( A \) к \( N \).
Шаг 3. Ввод координат для анализа
Рассмотрим положение треугольника в координатной плоскости для удобства.
Обозначим:
- \( A = (0,0) \),
- \( B = (a,0) \),
- \( C = \left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a \right) \).
Тогда:
- \( M \), середина \( AB \), будет: \( M = \left(\frac{a}{2}, 0 \right) \),
- \( N \), середина \( AC \), будет: \( N = \left(\frac{0 + a/2}{2}, \frac{0 + \sqrt{3}/2 \cdot a}{2} \right) = \left(\frac{a}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}a \right) \).
Шаг 4. Запишем векторные выражения медиан
Медиана от \( A \) к \( M \): \(\vec{AM} = M - A = \left(\frac{a}{2}, 0\right) - (0, 0) = \left(\frac{a}{2}, 0\right)\).
Медиана от \( A \) к \( N \): \(\vec{AN} = N - A = \left(\frac{a}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}a \right) - (0, 0) = \left(\frac{a}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}a \right)\).
Шаг 5. Найдём угол между медианами
Формула для угла \(\theta\) между двумя векторами \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \): \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \] где
- \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) — скалярное произведение,
- \( |\vec{u}| \), \( |\vec{v}| \) — длины векторов.
Подставим наши векторы:
\[ \vec{u} = \left(\frac{a}{2}, 0\right), \quad \vec{v} = \left(\frac{a}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}a\right). \]
Шаг 6. Вычисляем скалярное произведение
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \left(\frac{a}{2}\right) \cdot \left(\frac{a}{4}\right) + 0 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{4}a\right) = \frac{a^2}{8} \]
Шаг 7. Находим длины векторов
- \( |\vec{u}| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + 0^2} = \frac{a}{2} \),
- \( |\vec{v}| = \sqrt{\left(\frac{a}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}a\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{16} + \frac{3a^2}{16}} = \sqrt{\frac{4a^2}{16}} = \frac{a}{4} \times 2 = \frac{a}{2} \).
Обратите внимание, что \( |\vec{v}| = \frac{a}{2} \).
Шаг 8. Расчёт косинуса угла
\[ \cos \theta = \frac{\frac{a^2}{8}}{\left(\frac{a}{2}\right) \left(\frac{a}{2}\right)} = \frac{\frac{a^2}{8}}{\frac{a^2}{4}} = \frac{a^2/8}{a^2/4} = \frac{1/8}{1/4} = \frac{1}{8} \times \frac{4}{1} = \frac{1}{2} \]
Следовательно, \[ \theta = \arccos \left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ. \]
Ответ:
Острый угол между двумя медианами равен \( \boxed{60^\circ} \).
Если у вас возникнут дополнительные вопросы — обращайтесь!
