Около прямоугольного треугольника описана окружность радиуса 6.5см найдите площадь и периметр треугольника если один из катетов 5см
Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- Треугольник прямоугольный, с описанной окружностью радиуса \( R = 6{,}5 \) см.
- Один из катетов равен \( a = 5 \) см.
Нам нужно найти:
- Площадь треугольника \( S \),
- Периметр треугольника \( P \).
Шаг 1. Связь между радиусом описанной окружности и треугольником
Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности связан со сторонами следующим образом:
\[ R = \frac{c}{2} \]
где \( c \) — гипотенуза треугольника.
Следовательно:
\[ c = 2R = 2 \times 6{,}5 = 13\, \text{см} \]
Шаг 2. Обозначим стороны
Обозначим катеты: \( a = 5\, \text{см} \) (из условия) и \( b \)— другой катет, \( c = 13\, \text{см} \) — гипотенуза.
Так как треугольник прямоугольный, по теореме Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Подставляем известные значения:
\[ 5^2 + b^2 = 13^2 \]
\[ 25 + b^2 = 169 \]
Отсюда:
\[ b^2 = 169 - 25 = 144 \]
\[ b = \sqrt{144} = 12\, \text{см} \]
Шаг 3. Проверка данных
Теперь у нас есть стороны:
\[ a = 5\, \text{см}, \quad b = 12\, \text{см}, \quad c = 13\, \text{см} \]
Это соответствует известному Пифагорову троицкому (5, 12, 13).
Шаг 4. Находим площадь \( S \)
Площадь прямоугольного треугольника:
\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]
\[ S = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = \frac{1}{2} \times 60 = 30\, \text{см}^2 \]
Шаг 5. Находим периметр \( P \)
Периметр:
\[ P = a + b + c = 5 + 12 + 13 = 30\, \text{см} \]
Итог:
Площадь треугольника: \(\boxed{30\, \text{см}^2}\)
Периметр треугольника: \(\boxed{30\, \text{см}}\)
Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробное решение — скажите!
