Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- Треугольник прямоугольный, с описанной окружностью радиуса ( R = 6{,}5 ) см.
- Один из катетов равен ( a = 5 ) см.
Нам нужно найти:
- Площадь треугольника ( S ),
- Периметр треугольника ( P ).
Шаг 1. Связь между радиусом описанной окружности и треугольником
Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности связан со сторонами следующим образом:
[
R = \frac{c}{2}
]
где ( c ) — гипотенуза треугольника.
Следовательно:
[
c = 2R = 2 \times 6{,}5 = 13, \text{см}
]
Шаг 2. Обозначим стороны
Обозначим катеты: ( a = 5, \text{см} ) (из условия) и ( b )— другой катет, ( c = 13, \text{см} ) — гипотенуза.
Так как треугольник прямоугольный, по теореме Пифагора:
[
a^2 + b^2 = c^2
]
Подставляем известные значения:
[
5^2 + b^2 = 13^2
]
[
25 + b^2 = 169
]
Отсюда:
[
b^2 = 169 - 25 = 144
]
[
b = \sqrt{144} = 12, \text{см}
]
Шаг 3. Проверка данных
Теперь у нас есть стороны:
[
a = 5, \text{см}, \quad b = 12, \text{см}, \quad c = 13, \text{см}
]
Это соответствует известному Пифагорову троицкому (5, 12, 13).
Шаг 4. Находим площадь ( S )
Площадь прямоугольного треугольника:
[
S = \frac{1}{2} \times a \times b
]
[
S = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = \frac{1}{2} \times 60 = 30, \text{см}^2
]
Шаг 5. Находим периметр ( P )
Периметр:
[
P = a + b + c = 5 + 12 + 13 = 30, \text{см}
]
Итог:
Площадь треугольника: (\boxed{30, \text{см}^2})
Периметр треугольника: (\boxed{30, \text{см}})
Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробное решение — скажите!
