Сколько корней имеет уравнение х4 - 11х2 + 18=0
Рассмотрим уравнение:
\[ x^4 - 11x^2 + 18 = 0 \]
Цель: Понять, сколько корней имеет это уравнение.
Шаг 1: Введение замены переменной
Обратим внимание, что уравнение содержит степени 4 и 2. Это работает как уравнение только по \( x^2 \).
Обозначим:
\[ y = x^2 \]
Тогда уравнение перепишется так:
\[ y^2 - 11y + 18 = 0 \]
Шаг 2: Решение квадратного уравнения по \( y \)
Рассмотрим полученное квадратичное уравнение:
\[ y^2 - 11y + 18 = 0 \]
Решим его по формуле:
\[ y = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1} \]
Вычислим дискриминант:
\[ D = 121 - 4 \cdot 18 = 121 - 72 = 49 \]
Найдем корни:
\[ y = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{11 \pm 7}{2} \]
Получаем два решения:
- \( y_1 = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
- \( y_2 = \frac{11 - 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
Шаг 3: Возвращение к переменной \( x \)
Теперь решим каждое из уравнений \( y = x^2 \).
Для \( y_1 = 9 \):
\[ x^2 = 9 \] \[ x = \pm \sqrt{9} = \pm 3 \]
Значит, два корня:
\[ x = 3, \quad x = -3 \]
Для \( y_2 = 2 \):
\[ x^2 = 2 \] \[ x = \pm \sqrt{2} \]
Также два корня:
\[ x = \sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2} \]
Ответ:
Общее число корней у уравнения — 4:
\[ x = 3, \quad x= -3, \quad x= \sqrt{2}, \quad x= -\sqrt{2} \]
Если есть еще вопросы или нужно более подробное объяснение, скажите!
