Рассмотрим уравнение:
[ x^4 - 11x^2 + 18 = 0 ]
Цель: Понять, сколько корней имеет это уравнение.
Шаг 1: Введение замены переменной
Обратим внимание, что уравнение содержит степени 4 и 2. Это работает как уравнение только по ( x^2 ).
Обозначим:
[ y = x^2 ]
Тогда уравнение перепишется так:
[ y^2 - 11y + 18 = 0 ]
Шаг 2: Решение квадратного уравнения по ( y )
Рассмотрим полученное квадратичное уравнение:
[ y^2 - 11y + 18 = 0 ]
Решим его по формуле:
[ y = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1} ]
Вычислим дискриминант:
[ D = 121 - 4 \cdot 18 = 121 - 72 = 49 ]
Найдем корни:
[ y = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{11 \pm 7}{2} ]
Получаем два решения:
- ( y_1 = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 )
- ( y_2 = \frac{11 - 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 )
Шаг 3: Возвращение к переменной ( x )
Теперь решим каждое из уравнений ( y = x^2 ).
Для ( y_1 = 9 ):
[ x^2 = 9 ]
[ x = \pm \sqrt{9} = \pm 3 ]
Значит, два корня:
[ x = 3, \quad x = -3 ]
Для ( y_2 = 2 ):
[ x^2 = 2 ]
[ x = \pm \sqrt{2} ]
Также два корня:
[ x = \sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2} ]
Ответ:
Общее число корней у уравнения — 4:
[ x = 3, \quad x= -3, \quad x= \sqrt{2}, \quad x= -\sqrt{2} ]
Если есть еще вопросы или нужно более подробное объяснение, скажите!
