В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между ооковои стороной и основанием равен 45. Найдите площадь этой трапеции.
Давайте разберемся с задачей пошагово.
Дано:
- Трапеция равнобедренная
- Нижнее основание \(AB = 8\)
- Верхнее основание \(CD = 2\)
- Один из боковых углов равен \(45^\circ\)
Найти: площадь трапеции.
Шаг 1: Обозначим известные фигуры и условные обозначения
Обозначим:
- Нижнее основание \(AB = 8\)
- Верхнее основание \(CD = 2\)
- Высоту трапеции \(h\)
Так как трапеция равнобедренная, то боковые стороны равны, и боковые углы при основании равны.
Обозначим:
- Левая боковая сторона равна \(AD = BC = l\)
Шаг 2: Построение и геометрические условия
Поскольку один из углов между боковой стороной и основанием равен \(45^\circ\), рассмотрим, например, левый боковой угол при основании.
Это означает, что угол при вершине \(A\) между стороной \(AD\) и основанием \(AB\) равен \(45^\circ\).
Шаг 3: Определение высоты и положения точек
Рассмотрим прямую \(AB\) — нижнее основание, и пусть высота опущена из точки \(C\) перпендикулярно основанию \(AB\). Тогда:
- Пусть точка \(E\) — проекция точки \(D\) на основание \(AB\).
Рассмотрим левую сторону:
- Треугольник \(A D E\) — образуется, когда опускаем перпендикуляр из точки \(D\) на основание \(AB\).
Так как трапеция равнобедренная, то центр основания и вершина \(D\) симметричны относительно вертикальной оси симметрии.
Шаг 4: Использование условия угла в \(45^\circ\)
Пусть \(D\) — вершина верхнего основания, которая расположена выше точки \(E\), а \(E\) — проекция \(D\) на \(AB\).
Из условия, угол между боковой стороной \(D A\) и основанием \(AB\) равен \(45^\circ\).
Тогда,
\[
\angle D A E = 45^\circ
\]
Это означает, что в треугольнике \(A D E\):
- угол при \(A\) равен \(45^\circ\),
- \(AE\) — проекция \(D\) на основание \(AB\),
- \(D E\) — высота \(h\) (так как перпендикуляр из \(D\) на \(AB\)).
Шаг 5: Вывод длины боковой стороны \(l\)
Рассмотрим треугольник \(A D E\):
- В этом треугольнике,
\[ \sin 45^\circ = \frac{D E}{l} \]
Но еще важен сам вопрос: как найти \(l\)?
Обратим внимание, что,
\[ D E = h \]
а так как угол при \(A\) — \(45^\circ\), \[ \cos 45^\circ = \frac{AE}{l} \]
Теперь, поскольку \(AE\) — это разница между основанием \(AB\) и расположением точки \(D\):
- \(A E = \frac{AB - CD}{2} = \frac{8 - 2}{2} = 3\)
Следовательно,
\[ \cos 45^\circ = \frac{AE}{l} = \frac{3}{l} \]
и
\[ l = \frac{3}{\cos 45^\circ} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2} \]
Шаг 6: Определение высоты \(h\)
Используем синус:
\[ \sin 45^\circ = \frac{D E}{l} = \frac{h}{l} \]
Подставители \(l\):
\[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{3 \sqrt{2}} \]
Отсюда
\[ h = 3 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \times 1 = 3 \]
Итог:
- Высота \(h = 3\)
Шаг 7: Вычисление площади трапеции
Формула площади:
\[ S = \frac{(a + b)}{2} \times h \]
где:
- \(a = 2\) (верхнее основание),
- \(b = 8\) (нижнее основание),
- \(h = 3\).
Подставляем:
\[ S = \frac{(2 + 8)}{2} \times 3 = \frac{10}{2} \times 3 = 5 \times 3 = 15 \]
Ответ:
Площадь трапеции равна \(\boxed{15}\).
