В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между ооковои стороной и основанием равен 45. Найдите площадь этой трапеции.

Давайте разберемся с задачей пошагово. **Дано:** - Трапеция равнобедренная - Нижнее основание \(AB = 8\) - Верхнее основание \(CD = 2\) - Один из боковых углов равен \(45^\circ\) **Найти:** площадь трапеции. --- ### Шаг 1: Обозначим известные фигуры и условные обозначения Обозначим: - Нижнее основание \(AB = 8\) - Верхнее основание \(CD = 2\) - Высоту трапеции \(h\) Так как трапеция равнобедренная, то боковые стороны равны, и боковые углы при основании равны. Обозначим: - Левая боковая сторона равна \(AD = BC = l\) --- ### Шаг 2: Построение и геометрические условия Поскольку один из углов между боковой стороной и основанием равен \(45^\circ\), рассмотрим, например, левый боковой угол при основании. Это означает, что угол при вершине \(A\) между стороной \(AD\) и основанием \(AB\) равен \(45^\circ\). --- ### Шаг 3: Определение высоты и положения точек Рассмотрим прямую \(AB\) — нижнее основание, и пусть высота опущена из точки \(C\) перпендикулярно основанию \(AB\). Тогда: - Пусть точка \(E\) — проекция точки \(D\) на основание \(AB\). Рассмотрим левую сторону: - Треугольник \(A D E\) — образуется, когда опускаем перпендикуляр из точки \(D\) на основание \(AB\). Так как трапеция равнобедренная, то центр основания и вершина \(D\) симметричны относительно вертикальной оси симметрии. --- ### Шаг 4: Использование условия угла в \(45^\circ\) Пусть \(D\) — вершина верхнего основания, которая расположена выше точки \(E\), а \(E\) — проекция \(D\) на \(AB\). Из условия, угол между боковой стороной \(D A\) и основанием \(AB\) равен \(45^\circ\). Тогда, \[ \angle D A E = 45^\circ \] Это означает, что в треугольнике \(A D E\): - угол при \(A\) равен \(45^\circ\), - \(AE\) — проекция \(D\) на основание \(AB\), - \(D E\) — высота \(h\) (так как перпендикуляр из \(D\) на \(AB\)). --- ### Шаг 5: Вывод длины боковой стороны \(l\) Рассмотрим треугольник \(A D E\): - В этом треугольнике, \[ \sin 45^\circ = \frac{D E}{l} \] Но еще важен сам вопрос: как найти \(l\)? Обратим внимание, что, \[ D E = h \] а так как угол при \(A\) — \(45^\circ\), \[ \cos 45^\circ = \frac{AE}{l} \] Теперь, поскольку \(AE\) — это разница между основанием \(AB\) и расположением точки \(D\): - \(A E = \frac{AB - CD}{2} = \frac{8 - 2}{2} = 3\) Следовательно, \[ \cos 45^\circ = \frac{AE}{l} = \frac{3}{l} \] и \[ l = \frac{3}{\cos 45^\circ} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2} \] --- ### Шаг 6: Определение высоты \(h\) Используем синус: \[ \sin 45^\circ = \frac{D E}{l} = \frac{h}{l} \] Подставители \(l\): \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{3 \sqrt{2}} \] Отсюда \[ h = 3 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \times 1 = 3 \] --- ### Итог: - Высота \(h = 3\) --- ### Шаг 7: Вычисление площади трапеции Формула площади: \[ S = \frac{(a + b)}{2} \times h \] где: - \(a = 2\) (верхнее основание), - \(b = 8\) (нижнее основание), - \(h = 3\). Подставляем: \[ S = \frac{(2 + 8)}{2} \times 3 = \frac{10}{2} \times 3 = 5 \times 3 = 15 \] --- ### **Ответ:** **Площадь трапеции равна \(\boxed{15}\).**