Abcd-прямоугольник. Точка О точка пересечения диагоналей, AC = 30, AD = 24. Найти: |2OD(вектор)-ВС(вектор)|

Давайте разберём задачу шаг за шагом. **Дано:** - ABCD — прямоугольник. - O — точка пересечения диагоналей. - AC = 30, AD = 24. - Нужно найти |2 * OD - ВС|. **Что нужно определить:** Модуль вектора, образованного выражением \( 2 \mathbf{OD} - \mathbf{ВС} \). --- ### Шаг 1. Введение системы координат Чтобы решить задачу, удобно ввести систему координат, например, так: - поместим прямоугольник ABCD в плоскость с соответствующими координатами: - \( A(0, 0) \) — левый нижний угол - \( B(x, 0) \) — правый нижний - \( C(x, y) \) — правый верхний - \( D(0, y) \) — левый верхний. ### Шаг 2. Используем свойства прямоугольника - \( AC \) — диагональ, равна 30: \[ AC = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2} = 30. \] Следовательно, \[ x^2 + y^2 = 900. \] - \( AD \) — сторона, равна 24: \[ AD = y = 24. \] Тогда из уравнения диагонали: \[ x^2 + 24^2 = 900 \Rightarrow x^2 + 576 = 900 \Rightarrow x^2 = 324 \Rightarrow x = 18 \] (при выборе положительного значения, так как длина — положительна). Итак: \[ A(0, 0), \quad B(18, 0), \quad C(18, 24), \quad D(0, 24). \] --- ### Шаг 3. Координаты точек - \( A(0,0) \) - \( B(18,0) \) - \( C(18,24) \) - \( D(0,24) \) ### Шаг 4. Точка пересечения диагоналей \( O \) Диагонали — это \( AC \) и \( BD \). - \( A(0,0) \), \( C(18,24) \). - \( B(18,0) \), \( D(0,24) \). Точка пересечения диагоналей — средняя точка отрезка \( AC \) (так как диагонали в прямоугольнике пересекаются в центре) - \( O \) — середина \( A(0,0) \) и \( C(18,24) \): \[ O = \left(\frac{0 + 18}{2}, \frac{0 + 24}{2}\right) = (9, 12). \] --- ### Шаг 5. Вектора для расчетов - \( \mathbf{OD} = \overrightarrow{O D} \) \[ O(9, 12), \quad D(0,24) \] \[ \mathbf{OD} = D - O = (0 - 9, 24 - 12) = (-9, 12). \] - \( \mathbf{BC} = \overrightarrow{B C} \) \[ B(18, 0), \quad C(18, 24) \] \[ \mathbf{BC} = (18 - 18, 24 - 0) = (0, 24). \] --- ### Шаг 6. Вычисление выражения \( | 2 \mathbf{OD} - \mathbf{BC} | \) - \( 2 \mathbf{OD} = 2 \times (-9, 12) = (-18, 24) \). - \( 2 \mathbf{OD} - \mathbf{BC} = (-18, 24) - (0, 24) = (-18 - 0, 24 - 24) = (-18, 0). \) ### Шаг 7. Модуль полученного вектора \[ | (-18, 0) | = \sqrt{(-18)^2 + 0^2} = \sqrt{324} = 18. \] --- ## Итог: **Ответ: \(\boxed{18}\).**