Abcd-прямоугольник. Точка О точка пересечения диагоналей, AC = 30, AD = 24. Найти: |2OD(вектор)-ВС(вектор)|

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

Дано:

• ABCD — прямоугольник.
• O — точка пересечения диагоналей.
• AC = 30, AD = 24.
• Нужно найти |2 * OD - ВС|.

Что нужно определить:
Модуль вектора, образованного выражением \( 2 \mathbf{OD} - \mathbf{ВС} \).

Шаг 1. Введение системы координат

Чтобы решить задачу, удобно ввести систему координат, например, так:

• поместим прямоугольник ABCD в плоскость с соответствующими координатами:
  • \( A(0, 0) \) — левый нижний угол
  • \( B(x, 0) \) — правый нижний
  • \( C(x, y) \) — правый верхний
  • \( D(0, y) \) — левый верхний.

Шаг 2. Используем свойства прямоугольника

• \( AC \) — диагональ, равна 30:
  \[ AC = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2} = 30. \]
  Следовательно,
  \[ x^2 + y^2 = 900. \]

• \( AD \) — сторона, равна 24:
  \[ AD = y = 24. \]
  Тогда из уравнения диагонали:
  \[ x^2 + 24^2 = 900 \Rightarrow x^2 + 576 = 900 \Rightarrow x^2 = 324 \Rightarrow x = 18 \] (при выборе положительного значения, так как длина — положительна).

Итак:
\[ A(0, 0), \quad B(18, 0), \quad C(18, 24), \quad D(0, 24). \]

Шаг 3. Координаты точек

• \( A(0,0) \)
• \( B(18,0) \)
• \( C(18,24) \)
• \( D(0,24) \)

Шаг 4. Точка пересечения диагоналей \( O \)

Диагонали — это \( AC \) и \( BD \).

• \( A(0,0) \), \( C(18,24) \).
• \( B(18,0) \), \( D(0,24) \).

Точка пересечения диагоналей — средняя точка отрезка \( AC \) (так как диагонали в прямоугольнике пересекаются в центре)

• \( O \) — середина \( A(0,0) \) и \( C(18,24) \):
  \[ O = \left(\frac{0 + 18}{2}, \frac{0 + 24}{2}\right) = (9, 12). \]

Шаг 5. Вектора для расчетов

• \( \mathbf{OD} = \overrightarrow{O D} \)
  \[ O(9, 12), \quad D(0,24) \] \[ \mathbf{OD} = D - O = (0 - 9, 24 - 12) = (-9, 12). \]

• \( \mathbf{BC} = \overrightarrow{B C} \)
  \[ B(18, 0), \quad C(18, 24) \] \[ \mathbf{BC} = (18 - 18, 24 - 0) = (0, 24). \]

Шаг 6. Вычисление выражения \( | 2 \mathbf{OD} - \mathbf{BC} | \)

• \( 2 \mathbf{OD} = 2 \times (-9, 12) = (-18, 24) \).

• \( 2 \mathbf{OD} - \mathbf{BC} = (-18, 24) - (0, 24) = (-18 - 0, 24 - 24) = (-18, 0). \)

Шаг 7. Модуль полученного вектора

\[ | (-18, 0) | = \sqrt{(-18)^2 + 0^2} = \sqrt{324} = 18. \]

Итог:

Ответ: \(\boxed{18}\).