Давайте решим задачу пошагово и подробно.
Дано:
- Расстояние против течения: 72 км
- Время на путь против течения: ( t_1 ) часов
- Время на обратный путь (по течению): ( t_2 ) часов
- Разница во времени: ( t_1 - t_2 = 2 ) часа
- Скорость течения: ( v_{течь} = 3 \text{ км/ч} )
- Требуется найти скорость лодки в неподвижной воде: ( v ) км/ч
Шаг 1. Запишем выражения для скоростей при движении против течения и по течению:
- Скорость лодки против течения: ( v - v_{течь} = v - 3 )
- Скорость лодки по течению: ( v + 3 )
Шаг 2. Запишем выражения для времени в пути:
- Время против течения: ( t_1 = \frac{S}{v - 3} = \frac{72}{v - 3} )
- Время по течению: ( t_2 = \frac{72}{v + 3} )
Из условия:
[ t_1 - t_2 = 2 ]
Подставим выражения:
[
\frac{72}{v - 3} - \frac{72}{v + 3} = 2
]
Шаг 3. Решим полученное уравнение
Объединим левую часть, найдя общий знаменатель:
[
\frac{72(v + 3) - 72(v - 3)}{(v - 3)(v + 3)} = 2
]
Раскроем числитель:
[
72(v + 3) - 72(v - 3) = 72v + 216 - 72v + 216 = 432
]
Общий знаменатель:
[
(v - 3)(v + 3) = v^2 - 9
]
Теперь уравнение:
[
\frac{432}{v^2 - 9} = 2
]
Шаг 4. Решим уравнение относительно ( v ):
Умножим обе части на знаменатель:
[
432 = 2(v^2 - 9)
]
Раскроем скобки:
[
432 = 2v^2 - 18
]
Перенесем все в левую часть:
[
2v^2 - 18 - 432 = 0
]
Объединим:
[
2v^2 - 450 = 0
]
Разделим обе части на 2:
[
v^2 - 225 = 0
]
Решим квадратное уравнение:
[
v^2 = 225
]
Вычислим:
[
v = \pm 15
]
Поскольку скорость не может быть отрицательной, выберем положительный результат:
[
v = 15 \text{ км/ч}
]
Ответ:
Скорость лодки в неподвижной воде составляет 15 км/ч.
