Решите неравенство (2x - 5)/(3x + 6) < 0 и укажите наибольшее целое решение начертить луч

Рассмотрим неравенство:
\[ \frac{2x - 5}{3x + 6} < 0 \]

Цель — понять решение этого неравенства и определить, на каком интервале выражение отрицательно, а также найти наибольшее целое число, входящее в этот интервал.

Шаг 1: Анализ знаков числителя и знаменателя

• Числитель: \( 2x - 5 \)
  Решим \( 2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2} = 2.5 \)

• Знаменатель: \( 3x + 6 \)
  Решим \( 3x + 6 = 0 \Rightarrow x = -2 \)

Далее посмотрим, как меняется знак выражения в разных интервалах, разделённых точками \(x = -2\) и \(x = 2.5\).

Шаг 2: Построение числовой оси и проверка знаков в интервалах

Интервалы: \((-\infty, -2)\), \((-2, 2.5)\), \((2.5, +\infty)\).

Для определения знаков подставим произвольные значения из каждого интервала:

• Интервал \((- \infty, -2)\), например \(x = -3\): \[ \text{числитель}: 2(-3) - 5 = -6 - 5 = -11 \quad (\отрицатательный) \] \[ \text{знаменатель}: 3(-3) + 6 = -9 + 6 = -3 \quad (\отрицательный) \] Отношение: \(\frac{\text{отрицательное}}{\textотрицательное} = \text{положительное}\).

• Интервал \((-2, 2.5)\), например \(x=0\): \[ \text{числитель}: 2(0) - 5 = -5 \quad (\отрицательный) \] \[ \text{знаменатель}: 3(0)+6=6 \quad (\положительный) \] Отношение: \(\frac{\textотрицательное}{положительное} = \отрицательное\).

• Интервал \((2.5, +\infty)\), например \(x=3\): \[ \text{числитель}: 2(3) - 5 = 6 - 5=1 \quad (\положительный) \] \[ \text{знаменатель}: 3(3)+6=9+6=15 \quad (\положительный) \] Отношение: \(\frac{\положительный}{положительный} = \положительный\).

Шаг 3: Определение интервалов, где выражение отрицательно

Выражение меньше нуля, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Это есть в интервале:

\[ (-2, 2.5) \]

Обратите внимание:

• при \(x = -2\) знаменатель обнуляется, выражение не определено;
• при \(x=2.5\) числитель равен 0, выражение равно 0, условие строгое, поэтому не включаем точку \(x=2.5\).

Итог: решение неравенства

\[ x \in (-2, 2.5) \]

Шаг 4: Наибольшее целое решение

Целые числа, входящие в(intervал \((-2, 2.5)\)):

• \(x = -1\),
• \(x=0\),
• \(x=1\),
• \(x=2\).

Наибольшее целое число, входящее в интервал — 2.

Ответ:

\[ \boxed{ \text{Решение: } \quad x \in (-2, 2.5) \quad \implies \quad \text{наибольшее целое решение: } 2 } \]

Графическо начертить лучше всего как луч, начинающийся чуть больше \(-2\), идущий до чуть меньше 2.5, с открытыми концами, и наибольшим целым числом в этом диапазоне — 2.