А)Решите уравнение sin(5п/2+3х)+cos(7п+х)=корень 3cos (7п/2+x). б)Найдите все корни ,принадлежащие промежутку [-3п/2; –п].

Давайте подробно решим задачу, которая включает тригонометрические уравнения и нахождение корней на заданном интервале. --- **Задача:** А) Решите уравнение: \[ \sin\left( \frac{5\pi}{2}+3x \right) + \cos(7\pi + x) = \sqrt{3} \cos \left( \frac{7\pi}{2} + x \right) \] Б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку \(\left[ -\frac{3\pi}{2}, -\pi \right]\). --- ### Шаг 1: Упрощение уравнения Рассмотрим левую часть и правую часть по отдельности. --- ### Шаг 2: Используем тригонометрические тождества - \(\sin\left( A + B \right) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\) - \(\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B\) Также, знают, что: - \(\cos(\alpha + 2\pi) = \cos \alpha\) - \(\sin(\alpha + 2\pi) = \sin \alpha\) --- ### Шаг 3: Упростим отдельные слагаемые 1. \(\sin\left( \frac{5\pi}{2} + 3x \right)\) Обратите внимание, что: \[ \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} \] Поэтому: \[ \sin \left( 2\pi + \frac{\pi}{2} + 3x \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} + 3x \right) \] Так как \(\sin(\alpha + 2\pi) = \sin \alpha\). И, наконец: \[ \sin \left( \frac{\pi}{2} + 3x \right) = \cos 3x \] (так как \(\sin \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) = \cos \theta\)). 2. \(\cos(7\pi + x)\) Заметим, что: \[ 7\pi = 2 \cdots 3.5\pi \] Или, проще, использовать период \(\cos \alpha = \cos(\alpha + 2\pi k)\). Но заметим: \[ \cos(7\pi + x) = \cos( (6\pi + \pi) + x) = \cos(6\pi + \pi + x) \] Так как \(\cos(\alpha + 2\pi) = \cos \alpha\), то: \[ \cos(6\pi + \pi + x) = \cos(\pi + x) \] и: \[ \cos (\pi + x) = - \cos x \] (так как \(\cos (\pi + x) = - \cos x\)). 3. \(\cos \left( \frac{7\pi}{2} + x \right)\) Поскольку: \[ \frac{7\pi}{2} = 3\pi + \frac{\pi}{2} \] И учитывая, что \(\cos(\alpha + 2\pi) = \cos \alpha\), то: \[ \cos \left( 3\pi + \frac{\pi}{2} + x \right) = \cos \left( 3\pi + \frac{\pi}{2} + x \right) \] Но: \[ \cos (3\pi + \theta) = - \cos \theta \] Так что: \[ \cos \left( 3\pi + \frac{\pi}{2} + x \right) = - \cos \left( \frac{\pi}{2} + x \right) \] А: \[ \cos \left( \frac{\pi}{2} + x \right) = - \sin x \] (так как \(\cos (\frac{\pi}{2} + x) = - \sin x\)). Следовательно: \[ \cos \left( \frac{7\pi}{2} + x \right) = - \left( - \sin x \right) = \sin x \] --- ### Шаг 4: Итоговые выражения Обозначим: \[ \sin \left( \frac{5\pi}{2} + 3x \right) = \cos 3x \] \[ \cos (7\pi + x) = - \cos x \] \[ \cos \left( \frac{7\pi}{2} + x \right) = \sin x \] Подставим их в уравнение: \[ \cos 3x - \cos x = \sqrt{3} \sin x \] --- ### Шаг 5: Полученное уравнение Итак, получаем уравнение: \[ \boxed{ \cos 3x - \cos x = \sqrt{3} \sin x } \] --- ### Шаг 6: Использование тригонометрических формул Раскроем \(\cos 3x\): \[ \cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x \] Тогда уравнение перепишется как: \[ (4 \cos^3 x - 3 \cos x) - \cos x = \sqrt{3} \sin x \] Объединим подобные члены: \[ 4 \cos^3 x - 4 \cos x = \sqrt{3} \sin x \] Или: \[ 4 \cos^3 x - 4 \cos x = \sqrt{3} \sin x \] --- ### Шаг 7: Замена переменной Обозначим \( t = \cos x \). Тогда \(\sin x = \pm \sqrt{1 - t^2}\). Получаем: \[ 4 t^3 - 4 t = \pm \sqrt{3} \sqrt{1 - t^2} \] --- ### Шаг 8: Решение уравнения Рассмотрим два случая отдельно: 1. Первый случай: \(\sin x \geq 0\): \[ 4 t^3 - 4 t = \sqrt{3} \sqrt{1 - t^2} \] 2. Вторая: \(\sin x \leq 0\): \[ 4 t^3 - 4 t = - \sqrt{3} \sqrt{1 - t^2} \] Обозначим: \[ L(t) = 4 t^3 - 4 t \] Тогда уравнение принимает вид: \[ L(t) = \pm \sqrt{3} \sqrt{1 - t^2} \] --- ### Шаг 9: Возводим обе части в квадрат Чтобы избавиться от корней, возьмем квадрат: \[ L^2(t) = 3 (1 - t^2) \] \[ (4 t^3 - 4 t)^2 = 3 (1 - t^2) \] Раскроем левую часть: \[ (4 t^3 - 4 t)^2 = 16 t^6 - 2 \cdot 4 t^3 \cdot 4 t + 16 t^2 = 16 t^6 - 32 t^4 + 16 t^2 \] Тогда: \[ 16 t^6 - 32 t^4 + 16 t^2 = 3 - 3 t^2 \] Перенесем все в левую сторону: \[ 16 t^6 - 32 t^4 + 16 t^2 - 3 + 3 t^2 = 0 \] Объединим подобные: \[ 16 t^6 - 32 t^4 + 19 t^2 - 3 = 0 \] --- ### Шаг 10: Замена переменной и решение уравнения Обозначим \( y = t^2 \), где \( y \in [0,1] \), так как \( t = \cos x \). Тогда: \[ 16 y^3 - 32 y^2 + 19 y - 3 = 0 \] Это кубическое уравнение относительно \( y \). --- ### Шаг 11: Решение кубического уравнения по стандартным методам Давайте сейчас найдем корни этого уравнения (чтобы не усложнять, попробуем граничные значения и ищем рациональные корни). Поскольку ведущее число — 16, а свободный член — -3, проверим возможные делители свободного члена: \( \pm 1, \pm 3 \). Подставим \( y=1 \): \[ 16(1)^3 - 32(1)^2 + 19(1) - 3 = 16 - 32 + 19 - 3 = 0 \] Да! \( y=1 \) — корень. Теперь делим многочлен на \( y - 1 \): Обратимся к делению или использованию схемы деления. Делим \( 16 y^3 - 32 y^2 + 19 y - 3 \) на \( y - 1 \). Полином делится, так как \( y=1 \) — корень. Получаем: \[ 16 y^3 - 32 y^2 + 19 y - 3 = (y - 1) (16 y^2 - 16 y + 3) \] Итак, \[ ( y - 1)(16 y^2 - 16 y + 3) = 0 \] Решим квадратичное уравнение: \[ 16 y^2 - 16 y + 3 = 0 \] Используем формулу: \[ y = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 3}}{2 \cdot 16} \] \[ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 192}}{32} = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{32} = \frac{16 \pm 8}{32} \] Получаем два корня: - при плюсе: \[ y = \frac{16 + 8}{32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} \] - при минусе: \[ y = \frac{16 - 8}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \] Общий набор решений: \[ y = 1,\quad y = \frac{3}{4},\quad y = \frac{1}{4} \] --- ### Шаг 12: Восстановление \( t \) Recall, \( y = t^2 \), и \( t = \pm \sqrt{y} \). Поскольку \( t = \cos x \), допустимы значения \( t \in [-1,1] \). Рассмотрим каждое \( y \): 1. \( y = 1 \): \[ t = \pm 1 \] 2. \( y = \frac{3}{4} \): \[ t = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \] 3. \( y = \frac{1}{4} \): \[ t = \pm \frac{1}{2} \] --- ### Шаг 13: Проверка условий Теперь нужно проверить, для каждого из этих \( t \), какое соотношение с \(\sin x\) изначально, и не противоречит ли оно условию качества \(\sin x = \pm \sqrt{1 - t^2}\). В уравнении, образовавшемся при возведении в квадрат, мы уже учитывали оба варианта \(\pm\), поэтому теперь надо определить, при каком знаке \(\sin x\) для каждого \( t \) оно подходит, исходя из исходных уравнений. **Обратим внимание на изначальные отношения:** \[ L(t) = 4 t^3 - 4 t \] и \[ L(t) = \pm \sqrt{3} \sqrt{1 - t^2} \] Для каждого \( t \), определим \( L(t) \): - \( t = 1 \): \[ L(1) = 4(1)^3 - 4(1) = 4 - 4 = 0 \] - \( t = -1 \): \[ L(-1) = 4(-1)^3 - 4(-1) = -4 + 4 = 0 \] - \( t = \frac{\sqrt{3}}{2} \) (~0.866): \[ L\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 4 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 - 4 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] Вычислим: \[ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{(\sqrt{3})^3}{8} = \frac{3 \sqrt{3}}{8} \] Итак, \[ L\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 4 \cdots \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 4 \cdots \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12 \sqrt{3}}{8} - 2 \sqrt{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - 2 \sqrt{3} \] Общий вид: \[ = \sqrt{3} \left( \frac{3}{2} - 2 \right) = \sqrt{3} \left( - \frac{1}{2} \right) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \] Также, \[ \sqrt{1 - t^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \] Теперь, сравним: \[ L(t) \text{ с } \pm \sqrt{3} \sqrt{1 - t^2} \] \[ - \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{и} \quad \pm \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \] Это означает, что: \[ L(t) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \] равно \(\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\). Следовательно, для \( t = \frac{\sqrt{3}}{2} \), подходит знак минус. Аналогично для других вариантов. --- ### Итог: решения для \( x \) Получили возможные значения \( t = \cos x \): - \( t = 1 \) → \( x = 2 \pi k \), - \( t = -1 \) → \( x = \pi + 2 \pi k \), - \( t = \frac{\sqrt{3}}{2} \) → \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2 \pi k \), - \( t = - \frac{\sqrt{3}}{2} \) → \( x = \pm \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k \), - \( t = \frac{1}{2} \) → \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k \), - \( t = - \frac{1}{2} \) → \( x = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k \). --- ### **Шаг 14: Найти корни в промежутке** Период функции \( \cos x \) равен \( 2\pi \). Нам нужно найти все корни, принадлежащие промежутку: \[ \left[ -\frac{3\pi}{2}, -\pi \right] \] Положения по \( x \): - \( x = 2 \pi k \) - \( x = \pi + 2 \pi k \) - \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2 \pi k \) - \( x = \pm \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k \) - \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k \) - \( x = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k \) --- ### Проверка для \( k=0 \): - \( x=0 \), не входит в интервал \([-3\pi/2, -\pi]\). - \( x=2\pi k \), для \( k = -1 \): \[ x = -2 \pi \] Проверим: \[ - \frac{3\pi}{2} \leq -2\pi \leq -\pi \] \[ -4.712... \leq -6.283... \leq -3.141... \] Нет, \( -2\pi \approx -6.283 \), он менее \( -\frac{3\pi}{2} \) (примерно -4.712), Итак, **не входит**. - Для \( x=\pi + 2 \pi k \), при \(k = -2\): \[ x = \pi -4 \pi = -3 \pi \] Проверим: \[ -3 \pi \approx -9.4247 \] Сравним с границами: \[ -4.712... \leq -9.4247 \leq -3.141...\] Нет, не входит. - Аналогично, для всех других значений \( x \), проверим, попадают ли они в интервал. --- ### Итоговые корни внутри интервала: - \( x = -\frac{\pi}{6} \): \[ \approx -0.5236 \] Рассмотрим \( k = -1 \): \[ x = -\frac{\pi}{6} - 2 \pi \approx -0.5236 - 6.283 \approx -6.806 \] Это не входит, так как интервал — \([- \frac{3\pi}{2} \approx -4.712, -\pi \approx -3.141]\). Итак, нет. - \( x= - \frac{5\pi}{6} \): \[ \approx -2.617 \] Это входит, так как \(-4.712 \leq -2.617 \leq -3.141\)? Нет, \(-4.712 \leq -2.617 \leq -3.141\)? Нет, так как \(-2.617 > -3.141\), следовательно, **не входит**. - \( x= \frac{\pi}{6} \): \[ \approx 0.5236 \] Это не входит, так как \(0.5236\) не лежит в интервале. - \( x= - \frac{\pi}{3} \): \[ \approx -1.047 \] Проверка: \[ -4.712 \leq -1.047 \leq -3.141 \] Нет, потому что \(-1.047 > -3.141\). --- **Краткое заключение:** На интервале \(\left[-\frac{3 \pi}{2}, -\pi \right]\) **нет решений** уравнения. --- ## Итоговые ответы: ### **А)** Решение уравнения сводится к уравнению: \[ \cos 3x - \cos x = \sqrt{3} \sin x \] или, после преобразований, к уравнению в \( t = \cos x \): \[ 16 t^3 - 32 t^2 + 19 t - 3 = 0 \] с корнями \( y = t^2 = 1, \ \frac{3}{4}, \ \frac{1}{4} \). --- ### **Б)** На интервале \(\left[ -\frac{3\pi}{2}, -\pi \right]\) **нет решений** уравнения.