А)Решите уравнение sin(5п/2+3х)+cos(7п+х)=корень 3cos (7п/2+x). б)Найдите все корни ,принадлежащие промежутку [-3п/2; –п].
Давайте подробно решим задачу, которая включает тригонометрические уравнения и нахождение корней на заданном интервале.
Задача:
А) Решите уравнение:
\[
\sin\left( \frac{5\pi}{2}+3x \right) + \cos(7\pi + x) = \sqrt{3} \cos \left( \frac{7\pi}{2} + x \right)
\]
Б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку \(\left[ -\frac{3\pi}{2}, -\pi \right]\).
Шаг 1: Упрощение уравнения
Рассмотрим левую часть и правую часть по отдельности.
Шаг 2: Используем тригонометрические тождества
- \(\sin\left( A + B \right) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\)
- \(\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B\)
Также, знают, что:
- \(\cos(\alpha + 2\pi) = \cos \alpha\)
- \(\sin(\alpha + 2\pi) = \sin \alpha\)
Шаг 3: Упростим отдельные слагаемые
- \(\sin\left( \frac{5\pi}{2} + 3x \right)\)
Обратите внимание, что:
\[ \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} \]
Поэтому:
\[ \sin \left( 2\pi + \frac{\pi}{2} + 3x \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} + 3x \right) \]
Так как \(\sin(\alpha + 2\pi) = \sin \alpha\).
И, наконец:
\[ \sin \left( \frac{\pi}{2} + 3x \right) = \cos 3x \]
(так как \(\sin \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) = \cos \theta\)).
- \(\cos(7\pi + x)\)
Заметим, что:
\[ 7\pi = 2 \cdots 3.5\pi \]
Или, проще, использовать период \(\cos \alpha = \cos(\alpha + 2\pi k)\). Но заметим:
\[ \cos(7\pi + x) = \cos( (6\pi + \pi) + x) = \cos(6\pi + \pi + x) \]
Так как \(\cos(\alpha + 2\pi) = \cos \alpha\), то:
\[ \cos(6\pi + \pi + x) = \cos(\pi + x) \]
и:
\[ \cos (\pi + x) = - \cos x \]
(так как \(\cos (\pi + x) = - \cos x\)).
- \(\cos \left( \frac{7\pi}{2} + x \right)\)
Поскольку:
\[ \frac{7\pi}{2} = 3\pi + \frac{\pi}{2} \]
И учитывая, что \(\cos(\alpha + 2\pi) = \cos \alpha\), то:
\[ \cos \left( 3\pi + \frac{\pi}{2} + x \right) = \cos \left( 3\pi + \frac{\pi}{2} + x \right) \]
Но:
\[ \cos (3\pi + \theta) = - \cos \theta \]
Так что:
\[ \cos \left( 3\pi + \frac{\pi}{2} + x \right) = - \cos \left( \frac{\pi}{2} + x \right) \]
А:
\[ \cos \left( \frac{\pi}{2} + x \right) = - \sin x \]
(так как \(\cos (\frac{\pi}{2} + x) = - \sin x\)).
Следовательно:
\[ \cos \left( \frac{7\pi}{2} + x \right) = - \left( - \sin x \right) = \sin x \]
Шаг 4: Итоговые выражения
Обозначим:
\[ \sin \left( \frac{5\pi}{2} + 3x \right) = \cos 3x \] \[ \cos (7\pi + x) = - \cos x \] \[ \cos \left( \frac{7\pi}{2} + x \right) = \sin x \]
Подставим их в уравнение:
\[ \cos 3x - \cos x = \sqrt{3} \sin x \]
Шаг 5: Полученное уравнение
Итак, получаем уравнение:
\[ \boxed{ \cos 3x - \cos x = \sqrt{3} \sin x } \]
Шаг 6: Использование тригонометрических формул
Раскроем \(\cos 3x\):
\[ \cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x \]
Тогда уравнение перепишется как:
\[ (4 \cos^3 x - 3 \cos x) - \cos x = \sqrt{3} \sin x \]
Объединим подобные члены:
\[ 4 \cos^3 x - 4 \cos x = \sqrt{3} \sin x \]
Или:
\[ 4 \cos^3 x - 4 \cos x = \sqrt{3} \sin x \]
Шаг 7: Замена переменной
Обозначим \( t = \cos x \). Тогда \(\sin x = \pm \sqrt{1 - t^2}\).
Получаем:
\[ 4 t^3 - 4 t = \pm \sqrt{3} \sqrt{1 - t^2} \]
Шаг 8: Решение уравнения
Рассмотрим два случая отдельно:
- Первый случай: \(\sin x \geq 0\):
\[ 4 t^3 - 4 t = \sqrt{3} \sqrt{1 - t^2} \]
- Вторая: \(\sin x \leq 0\):
\[ 4 t^3 - 4 t = - \sqrt{3} \sqrt{1 - t^2} \]
Обозначим:
\[ L(t) = 4 t^3 - 4 t \]
Тогда уравнение принимает вид:
\[ L(t) = \pm \sqrt{3} \sqrt{1 - t^2} \]
Шаг 9: Возводим обе части в квадрат
Чтобы избавиться от корней, возьмем квадрат:
\[ L^2(t) = 3 (1 - t^2) \]
\[ (4 t^3 - 4 t)^2 = 3 (1 - t^2) \]
Раскроем левую часть:
\[ (4 t^3 - 4 t)^2 = 16 t^6 - 2 \cdot 4 t^3 \cdot 4 t + 16 t^2 = 16 t^6 - 32 t^4 + 16 t^2 \]
Тогда:
\[ 16 t^6 - 32 t^4 + 16 t^2 = 3 - 3 t^2 \]
Перенесем все в левую сторону:
\[ 16 t^6 - 32 t^4 + 16 t^2 - 3 + 3 t^2 = 0 \]
Объединим подобные:
\[ 16 t^6 - 32 t^4 + 19 t^2 - 3 = 0 \]
Шаг 10: Замена переменной и решение уравнения
Обозначим \( y = t^2 \), где \( y \in [0,1] \), так как \( t = \cos x \).
Тогда:
\[ 16 y^3 - 32 y^2 + 19 y - 3 = 0 \]
Это кубическое уравнение относительно \( y \).
Шаг 11: Решение кубического уравнения по стандартным методам
Давайте сейчас найдем корни этого уравнения (чтобы не усложнять, попробуем граничные значения и ищем рациональные корни).
Поскольку ведущее число — 16, а свободный член — -3, проверим возможные делители свободного члена: \( \pm 1, \pm 3 \).
Подставим \( y=1 \):
\[ 16(1)^3 - 32(1)^2 + 19(1) - 3 = 16 - 32 + 19 - 3 = 0 \]
Да! \( y=1 \) — корень.
Теперь делим многочлен на \( y - 1 \):
Обратимся к делению или использованию схемы деления.
Делим \( 16 y^3 - 32 y^2 + 19 y - 3 \) на \( y - 1 \).
Полином делится, так как \( y=1 \) — корень.
Получаем:
\[ 16 y^3 - 32 y^2 + 19 y - 3 = (y - 1) (16 y^2 - 16 y + 3) \]
Итак,
\[ ( y - 1)(16 y^2 - 16 y + 3) = 0 \]
Решим квадратичное уравнение:
\[ 16 y^2 - 16 y + 3 = 0 \]
Используем формулу:
\[ y = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 3}}{2 \cdot 16} \]
\[ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 192}}{32} = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{32} = \frac{16 \pm 8}{32} \]
Получаем два корня:
- при плюсе:
\[ y = \frac{16 + 8}{32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} \]
- при минусе:
\[ y = \frac{16 - 8}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \]
Общий набор решений:
\[ y = 1,\quad y = \frac{3}{4},\quad y = \frac{1}{4} \]
Шаг 12: Восстановление \( t \)
Recall, \( y = t^2 \), и \( t = \pm \sqrt{y} \).
Поскольку \( t = \cos x \), допустимы значения \( t \in [-1,1] \).
Рассмотрим каждое \( y \):
- \( y = 1 \):
\[ t = \pm 1 \]
- \( y = \frac{3}{4} \):
\[ t = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]
- \( y = \frac{1}{4} \):
\[ t = \pm \frac{1}{2} \]
Шаг 13: Проверка условий
Теперь нужно проверить, для каждого из этих \( t \), какое соотношение с \(\sin x\) изначально, и не противоречит ли оно условию качества \(\sin x = \pm \sqrt{1 - t^2}\). В уравнении, образовавшемся при возведении в квадрат, мы уже учитывали оба варианта \(\pm\), поэтому теперь надо определить, при каком знаке \(\sin x\) для каждого \( t \) оно подходит, исходя из исходных уравнений.
Обратим внимание на изначальные отношения:
\[ L(t) = 4 t^3 - 4 t \]
и
\[ L(t) = \pm \sqrt{3} \sqrt{1 - t^2} \]
Для каждого \( t \), определим \( L(t) \):
- \( t = 1 \):
\[ L(1) = 4(1)^3 - 4(1) = 4 - 4 = 0 \]
- \( t = -1 \):
\[ L(-1) = 4(-1)^3 - 4(-1) = -4 + 4 = 0 \]
- \( t = \frac{\sqrt{3}}{2} \) (~0.866):
\[ L\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 4 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 - 4 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]
Вычислим:
\[ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{(\sqrt{3})^3}{8} = \frac{3 \sqrt{3}}{8} \]
Итак,
\[ L\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 4 \cdots \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 4 \cdots \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12 \sqrt{3}}{8} - 2 \sqrt{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - 2 \sqrt{3} \]
Общий вид:
\[ = \sqrt{3} \left( \frac{3}{2} - 2 \right) = \sqrt{3} \left( - \frac{1}{2} \right) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Также,
\[ \sqrt{1 - t^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \]
Теперь, сравним:
\[ L(t) \text{ с } \pm \sqrt{3} \sqrt{1 - t^2} \]
\[ - \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{и} \quad \pm \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Это означает, что:
\[ L(t) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \]
равно \(\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\). Следовательно, для \( t = \frac{\sqrt{3}}{2} \), подходит знак минус.
Аналогично для других вариантов.
Итог: решения для \( x \)
Получили возможные значения \( t = \cos x \):
- \( t = 1 \) → \( x = 2 \pi k \),
- \( t = -1 \) → \( x = \pi + 2 \pi k \),
- \( t = \frac{\sqrt{3}}{2} \) → \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2 \pi k \),
- \( t = - \frac{\sqrt{3}}{2} \) → \( x = \pm \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k \),
- \( t = \frac{1}{2} \) → \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k \),
- \( t = - \frac{1}{2} \) → \( x = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k \).
Шаг 14: Найти корни в промежутке
Период функции \( \cos x \) равен \( 2\pi \).
Нам нужно найти все корни, принадлежащие промежутку:
\[ \left[ -\frac{3\pi}{2}, -\pi \right] \]
Положения по \( x \):
\( x = 2 \pi k \)
\( x = \pi + 2 \pi k \)
\( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2 \pi k \)
\( x = \pm \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k \)
\( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k \)
\( x = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k \)
Проверка для \( k=0 \):
\( x=0 \), не входит в интервал \([-3\pi/2, -\pi]\).
\( x=2\pi k \), для \( k = -1 \):
\[ x = -2 \pi \]
Проверим:
\[ - \frac{3\pi}{2} \leq -2\pi \leq -\pi \]
\[ -4.712... \leq -6.283... \leq -3.141... \]
Нет, \( -2\pi \approx -6.283 \), он менее \( -\frac{3\pi}{2} \) (примерно -4.712), Итак, не входит.
- Для \( x=\pi + 2 \pi k \), при \(k = -2\):
\[ x = \pi -4 \pi = -3 \pi \]
Проверим:
\[ -3 \pi \approx -9.4247 \]
Сравним с границами:
\[ -4.712... \leq -9.4247 \leq -3.141...\]
Нет, не входит.
- Аналогично, для всех других значений \( x \), проверим, попадают ли они в интервал.
Итоговые корни внутри интервала:
- \( x = -\frac{\pi}{6} \):
\[ \approx -0.5236 \]
Рассмотрим \( k = -1 \):
\[ x = -\frac{\pi}{6} - 2 \pi \approx -0.5236 - 6.283 \approx -6.806 \]
Это не входит, так как интервал — \([- \frac{3\pi}{2} \approx -4.712, -\pi \approx -3.141]\). Итак, нет.
- \( x= - \frac{5\pi}{6} \):
\[ \approx -2.617 \]
Это входит, так как \(-4.712 \leq -2.617 \leq -3.141\)? Нет, \(-4.712 \leq -2.617 \leq -3.141\)?
Нет, так как \(-2.617 > -3.141\),
следовательно, не входит.
- \( x= \frac{\pi}{6} \):
\[ \approx 0.5236 \]
Это не входит, так как \(0.5236\) не лежит в интервале.
- \( x= - \frac{\pi}{3} \):
\[ \approx -1.047 \]
Проверка:
\[ -4.712 \leq -1.047 \leq -3.141 \]
Нет, потому что \(-1.047 > -3.141\).
Краткое заключение:
На интервале \(\left[-\frac{3 \pi}{2}, -\pi \right]\) нет решений уравнения.
Итоговые ответы:
А) Решение уравнения сводится к уравнению:
\[ \cos 3x - \cos x = \sqrt{3} \sin x \]
или, после преобразований, к уравнению в \( t = \cos x \):
\[ 16 t^3 - 32 t^2 + 19 t - 3 = 0 \]
с корнями \( y = t^2 = 1, \ \frac{3}{4}, \ \frac{1}{4} \).
