Давайте решим задачу: найти такую функцию ( f(x) ), что её производная равна нулю — то есть ( f'(x) = 0 ), при этом ( f(x) = x^3 - 4x^2 ).
Шаг 1: Записываем исходные данные
Дана функция:
[
f(x) = x^3 - 4x^2
]
и нужно найти её производную:
[
f'(x)
]
(в условии сказано, что ( f'(x) = 0 )), и определить, при каких ( x ) это выполняется.
Шаг 2: Найдём производную ( f(x) )
Используя правила дифференцирования:
- Производная ( x^n ) равна ( n x^{n-1} )
Тогда:
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - 4 \frac{d}{dx}(x^2) = 3x^2 - 8x
]
Шаг 3: Решаем уравнение ( f'(x) = 0 )
Подставляем полученное выражение:
[
3x^2 - 8x = 0
]
Вынесем общий множитель ( x ):
[
x (3x - 8) = 0
]
Отсюда получаем два корня:
[
x = 0 \quad \text{или} \quad 3x - 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{3}
]
Ответ:
Производная функции ( f(x) = x^3 - 4x^2 ) равна нулю при:
[
\boxed{
x = 0 \quad \text{или} \quad x = \frac{8}{3}
}
]
Если нужно более подробно разобраться, например, определить экстремумы или интервалды, где функция возрастает или убывает, я могу помочь в этом!
