F'(x) = 0, где f(x) = (x³)-4x²"

Давайте решим задачу: найти такую функцию \( f(x) \), что её производная равна нулю — то есть \( f'(x) = 0 \), при этом \( f(x) = x^3 - 4x^2 \).

Шаг 1: Записываем исходные данные

Дана функция:

\[ f(x) = x^3 - 4x^2 \]

и нужно найти её производную:

\[ f'(x) \]

(в условии сказано, что \( f'(x) = 0 \)), и определить, при каких \( x \) это выполняется.

Шаг 2: Найдём производную \( f(x) \)

Используя правила дифференцирования:

• Производная \( x^n \) равна \( n x^{n-1} \)

Тогда:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - 4 \frac{d}{dx}(x^2) = 3x^2 - 8x \]

Шаг 3: Решаем уравнение \( f'(x) = 0 \)

Подставляем полученное выражение:

\[ 3x^2 - 8x = 0 \]

Вынесем общий множитель \( x \):

\[ x (3x - 8) = 0 \]

Отсюда получаем два корня:

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad 3x - 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{3} \]

Ответ:

Производная функции \( f(x) = x^3 - 4x^2 \) равна нулю при:

\[ \boxed{ x = 0 \quad \text{или} \quad x = \frac{8}{3} } \]

Если нужно более подробно разобраться, например, определить экстремумы или интервалды, где функция возрастает или убывает, я могу помочь в этом!