На рисунке изображена правильная треугольная призма 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1, высота которой равна 6√3. Сторона треугольника, лежащего в основании, равна 3. Чему равен объём призмы…

Давайте разберемся с задачей по шагам. Нам дана правильная треугольная призма с высотой и стороной основания, и нужно найти ее объем.

Дано:

• Форма призмы: правильная треугольная
• Высота призмы \( h = 6\sqrt{3} \)
• Сторона основания треугольника \( a = 3 \)

Что нужно найти: объем призмы \( V \).

Шаг 1: Вспомнить формулу объема призмы

Объем призмы равен площади основания \( S \) умноженной на ее высоту \( h \): \[ V = S \times h \]

Шаг 2: Найти площадь основания — правильный треугольник со стороной \( a = 3 \)

Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Подставим \( a = 3 \): \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9 \] \[ S = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \]

Шаг 3: Подставить площадь основания и высоту в формулу объема

\[ V = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \times 6 \sqrt{3} \]

Рассчитаем произведение: \[ V = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \times 6 \sqrt{3} \]

Объединим множители: \[ V = \frac{9 \times 6 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}}{4} \]

Т.к. \( \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \): \[ V = \frac{9 \times 6 \times 3}{4} \]

Выполним умножение числителей: \[ V = \frac{9 \times 6 \times 3}{4} = \frac{162}{4} \]

Упростим дробь: \[ V = \frac{162}{4} = \frac{81}{2} \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{81}{2}} \]

Объем призмы равен \( \frac{81}{2} \) кубических единиц.