Давайте разберемся с задачей по шагам. Нам дана правильная треугольная призма с высотой и стороной основания, и нужно найти ее объем.
Дано:
- Форма призмы: правильная треугольная
- Высота призмы ( h = 6\sqrt{3} )
- Сторона основания треугольника ( a = 3 )
Что нужно найти: объем призмы ( V ).
Шаг 1: Вспомнить формулу объема призмы
Объем призмы равен площади основания ( S ) умноженной на ее высоту ( h ):
[
V = S \times h
]
Шаг 2: Найти площадь основания — правильный треугольник со стороной ( a = 3 )
Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
Подставим ( a = 3 ):
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9
]
[
S = \frac{9 \sqrt{3}}{4}
]
Шаг 3: Подставить площадь основания и высоту в формулу объема
[
V = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \times 6 \sqrt{3}
]
Рассчитаем произведение:
[
V = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \times 6 \sqrt{3}
]
Объединим множители:
[
V = \frac{9 \times 6 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}}{4}
]
Т.к. ( \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 ):
[
V = \frac{9 \times 6 \times 3}{4}
]
Выполним умножение числителей:
[
V = \frac{9 \times 6 \times 3}{4} = \frac{162}{4}
]
Упростим дробь:
[
V = \frac{162}{4} = \frac{81}{2}
]
Ответ:
[
\boxed{\frac{81}{2}}
]
Объем призмы равен ( \frac{81}{2} ) кубических единиц.
