(x+4)(x-8)<0

Рассмотрим неравенство: \((x+4)(x-8) < 0\).

Цель — понять решение и объяснить его подробно.

Шаг 1. Анализ неравенства

Выражение \((x+4)(x-8)\) — это произведение двух выражений. Мы ищем такие значения \(x\), при которых произведение отрицательно, то есть меньше нуля.

Шаг 2. Найти нули выражения

Область определения — все числа, при которых произведение определено.

Нули выражений — точки, в которых каждый множитель равен нулю:

• \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\)
• \(x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8\)

Эти значения разбивают числовую ось на три промежутка:

• \(x < -4\)
• \(-4 < x < 8\)
• \(x > 8\)

Шаг 3. Определить знак произведения на каждом промежутке

Для этого выберем произвольные точки из каждого промежутка и подставим их в неравенство.

1. Промежуток \(x < -4\): например, \(x = -5\)

\[ (-5+4)(-5-8) = (-1)(-13) = 13 > 0 \]

Произведение положительно. Нам нужны области, где произведение меньше нуля.

2. Промежуток \(-4 < x < 8\): например, \(x = 0\)

\[ (0+4)(0-8) = 4 \times -8 = -32 < 0 \]

Произведение отрицательное. Этот промежуток подходит.

3. Промежуток \(x > 8\): например, \(x=10\)

\[ (10+4)(10-8) = 14 \times 2 = 28 > 0 \]

Произведение положительное.

Шаг 4. Учтём нули выражения

Произведение равно нулю при \(x = -4\) и \(x=8\). Но в условии стоит строгое неравенство \((x+4)(x-8) < 0\) — то есть, строго меньше нуля.

Значения, при которых произведение равно нулю, — не включаются в решение.

Ответ:

Производитирование отрицательно только в промежутке \(-4 < x < 8\).

Итог:

\[ \boxed{ \text{Решение:} \quad x \in (-4,\, 8) } \]

Это — множество всех чисел, для которых произведение \((x+4)(x-8)\) меньше нуля.