Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если плоский угол при вершине равен 900 , а радиус окружности описанной вокруг её боковой грани, равен 6.

Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом. **Дано:** - Плоский угол при вершине пирамиды равен 90°. - Радиус окружности, описанной вокруг боковой грани пирамиды, равен 6. - Имеется правильная треугольная пирамида (основание — правильный треугольник). Найти: площадь боковой поверхности. --- ### Шаг 1. Понимание условий - **Плоский угол при вершине равен 90°**: Это угол между двумя боковыми гранями, исходящими из вершины. В правильной треугольной пирамиде, где основание — правильный треугольник, вершина — это апекс, а боковые грани образуют угол между собой. - **Радиус окружности, описанной вокруг боковой грани, равен 6**: Речь идет об окружности, вокруг боковой грани, то есть о окружности, вписанной или описанной вокруг грани. ### Шаг 2. Вспомогательные понятия - **Плоский угол при вершине (90°)** означает, что два боковых граней образуют угол в 90° в точке вершины. - В правильной треугольной пирамиде все боковые грани — равны по форме, и угол между ними — 90°. ### Шаг 3. Расчёт высоты пирамиды и боковых граней Обозначим: - сторону основания (равностороннего треугольника) — **a** - высоту грани — **h** - апекс — точка, где сходятся все боковые грани. --- ### Шаг 4. Связь между уголком при вершине и боковыми гранями Дано, что угол между двумя боковыми гранями — 90°. В правильной треугольной пирамиде, при условии, что все боковые грани равны, а угол между ними равен 90°, возникает важное геометрическое свойство. Вокруг вершины в 3D-геометрии это означает, что угол между нормалями к боковым граням равен 90°, что отражает угол между гранями. --- ### Шаг 5. Радиус окружности, описанной вокруг боковой грани, равен 6 Рассмотрим боковую грань — это треугольник, вершина которого — апекс, основание — сторона основания пирамиды. Окружность, описанная вокруг боковой грани, имеет радиус 6: - Центр этой окружности находится в центре окружности, проходящей через вершины грани. Используем следующее соотношение: Для правильной треугольной пирамиды боковая грань — равносторонний треугольник, и вокруг него можно описать окружность радиуса R. — ### Шаг 6. Геометрические выкладки Обозначим: - длину бокового ребра — **l** - сторону основания — **a** Известно, что радиус описанной окружности вокруг соответствующей боковой грани равен 6: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] (это для равностороннего треугольника, вписанного в окружность с радиусом R). Но у нас есть радиус описанной окружности, который связан с длинами сторон. --- ### Шаг 7. Анализ по тригонометрии и углам Можно связать радиус окружности, описанной вокруг боковой грани, с боковым ребром и углами. Очевидно, что радиус окружности, описанной вокруг грани, связан с радиусом вписанной окружности или описанной окружности. --- ### Шаг 8. Итоговые вычисления - Так как окружность описана вокруг боковой грани и радиус равен 6, а грань — равносторонний треугольник, то длина стороны грани: \[ a_{\text{грань}} = 2 R = 2 \times 6 = 12 \] Это длина стороны боковой грани, поскольку в равностороннем треугольнике окружность, описанная вокруг него, имеет радиус: \[ R = \frac{a_{\text{грань}}}{\sqrt{3}} \] Итак, \[ a_{\text{грань}} = R \times \sqrt{3} = 6 \times \sqrt{3} \] Но противоречие: в условии радиус равен 6, а если сторона равна \( a_{\text{грань}} \), то: \[ a_{\text{грань}} = 2 R = 12 \] Значит, радиус описанной окружности равен: \[ R = \frac{a_{\text{грань}}}{2} = 6 \] Это подтверждает, что длина стороны боковой грани — **12**. --- ### Шаг 9. Расчёт площади боковой поверхности Размерность боковой грани — треугольник со стороной 12, высота которого зависит от высоты самой пирамиды. Поскольку боковая грань — равносторонний треугольник со стороной 12, её площадь: \[ S_{\text{боковой грани}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (12)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36 \sqrt{3} \] **Но это площадь одной боковой грани.** Площадь боковой поверхности — сумма трёх таких граней: \[ S_{\text{боковая поверхность}} = 3 \times 36 \sqrt{3} = 108 \sqrt{3} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Площадь боковой поверхности} = 108 \sqrt{3} } \] Если нужно приблизительное числовое значение, то: \[ 108 \times 1.732 \approx 187.2 \] **Итак, ответ:** \(\boxed{108 \sqrt{3}}\) или примерно **187.2**.