Sin ⁡ 7 x = sin ⁡ 3 x sin7x=sin3x Запиши в поле ответа сумму корней, принадлежащих отрезку  [ 0 , π ] , [0,π], умноженную на  2 π . π 2 ​ .

Давайте решим уравнение \(\sin 7x = \sin 3x\) и найдём сумму всех корней, принадлежащих отрезку \([0, \pi]\), затем умножим результат на \(2 \pi\). ### Шаг 1: Решение уравнения \(\sin 7x = \sin 3x\) Общее решение уравнения \(\sin A = \sin B\) даётся формулой: \[ A = B + 2k\pi \quad \text{или} \quad A = \pi - B + 2k\pi, \] где \(k \in \mathbb{Z}\). Подставим \(A = 7x\) и \(B = 3x\): 1. \(7x = 3x + 2k\pi\) 2. \(7x = \pi - 3x + 2k\pi\) Рассмотрим каждый случай: ### Шаг 2: Решения первого уравнения \[ 7x = 3x + 2k\pi \Rightarrow 4x = 2k\pi \Rightarrow x = \frac{k\pi}{2} \] Поскольку ищем решения на интервале \([0, \pi]\), то есть \(0 \leq x \leq \pi\): \[ 0 \leq \frac{k\pi}{2} \leq \pi \Rightarrow 0 \leq k \leq 2. \] Значения \(k\): 0, 1, 2. Тогда решения: - \(k=0:\quad x=0\), - \(k=1:\quad x=\frac{\pi}{2}\), - \(k=2:\quad x=\pi\). ### Шаг 3: Решения второго уравнения \[ 7x = \pi - 3x + 2k\pi \Rightarrow 7x + 3x = \pi + 2k\pi \Rightarrow 10x = \pi(1 + 2k), \] следовательно: \[ x = \frac{\pi(1 + 2k)}{10}. \] Опять же, рассматриваем \(x\) на интервале \([0, \pi]\): \[ 0 \leq \frac{\pi(1+2k)}{10} \leq \pi. \] Разделим условие: 1. \(\frac{\pi(1+2k)}{10} \geq 0 \Rightarrow 1+2k \geq 0 \Rightarrow k \geq -\frac{1}{2}\), 2. \(\frac{\pi(1+2k)}{10} \leq \pi \Rightarrow 1+2k \leq 10 \Rightarrow 2k \leq 9 \Rightarrow k \leq 4.5\). Так как \(k\) — целое число, возможные значения: \[ k = 0, 1, 2, 3, 4. \] Для каждого: - \(k=0:\quad x=\frac{\pi(1+0)}{10}=\frac{\pi}{10}\), - \(k=1:\quad x=\frac{\pi(1+2)}{10}=\frac{3\pi}{10}\), - \(k=2:\quad x=\frac{5\pi}{10}=\frac{\pi}{2}\), - \(k=3:\quad x=\frac{7\pi}{10}\), - \(k=4:\quad x=\frac{9\pi}{10}\). ### Шаг 4: Итоговые корни Объединяем все решения и убираем дубли: \[ x=0,\quad x=\frac{\pi}{2},\quad x=\pi, \] \[ x=\frac{\pi}{10},\quad x=\frac{3\pi}{10},\quad x=\frac{7\pi}{10},\quad x=\frac{9\pi}{10}. \] Записываем все корни в порядке возрастания: \[ x=0,\quad \frac{\pi}{10},\quad \frac{3\pi}{10},\quad \frac{\pi}{2},\quad \frac{7\pi}{10},\quad \frac{9\pi}{10},\quad \pi. \] ### Шаг 5: Находим сумму корней Сумма: \[ 0 + \frac{\pi}{10} + \frac{3\pi}{10} + \frac{\pi}{2} + \frac{7\pi}{10} + \frac{9\pi}{10} + \pi. \] Приведём всё к общему знаменателю \(10\): \[ 0 + \frac{\pi}{10} + \frac{3\pi}{10} + \frac{5\pi}{10} + \frac{7\pi}{10} + \frac{9\pi}{10} + \frac{10\pi}{10}. \] Общая сумма: \[ \frac{\pi}{10} + \frac{3\pi}{10} + \frac{5\pi}{10} + \frac{7\pi}{10} + \frac{9\pi}{10} + \frac{10\pi}{10} = \frac{\pi(1+3+5+7+9+10)}{10}. \] Внутри скобок: \[ 1+3+5+7+9=25,\quad 25+10=35. \] Итого сумма: \[ \frac{35\pi}{10} = \frac{7\pi}{2}. \] ### Шаг 6: Умножение на \(2\pi\) \[ \boxed{ \left(\frac{7\pi}{2}\right) \times 2\pi = \frac{7\pi}{2} \times 2\pi = 7\pi \times \pi = 7 \pi^2. } \] **Ответ: \(\boxed{7 \pi^2}\).**