sin 7 x = sin 3 x sin7x=sin3x Запиши в поле ответа сумму корней, принадлежащих отрезку [ 0 , π ] , [0,π], умноженную на 2 π . π 2 .
Давайте решим уравнение \(\sin 7x = \sin 3x\) и найдём сумму всех корней, принадлежащих отрезку \([0, \pi]\), затем умножим результат на \(2 \pi\).
Шаг 1: Решение уравнения \(\sin 7x = \sin 3x\)
Общее решение уравнения \(\sin A = \sin B\) даётся формулой: \[ A = B + 2k\pi \quad \text{или} \quad A = \pi - B + 2k\pi, \] где \(k \in \mathbb{Z}\).
Подставим \(A = 7x\) и \(B = 3x\):
- \(7x = 3x + 2k\pi\)
- \(7x = \pi - 3x + 2k\pi\)
Рассмотрим каждый случай:
Шаг 2: Решения первого уравнения
\[ 7x = 3x + 2k\pi \Rightarrow 4x = 2k\pi \Rightarrow x = \frac{k\pi}{2} \] Поскольку ищем решения на интервале \([0, \pi]\), то есть \(0 \leq x \leq \pi\):
\[ 0 \leq \frac{k\pi}{2} \leq \pi \Rightarrow 0 \leq k \leq 2. \] Значения \(k\): 0, 1, 2.
Тогда решения:
- \(k=0:\quad x=0\),
- \(k=1:\quad x=\frac{\pi}{2}\),
- \(k=2:\quad x=\pi\).
Шаг 3: Решения второго уравнения
\[ 7x = \pi - 3x + 2k\pi \Rightarrow 7x + 3x = \pi + 2k\pi \Rightarrow 10x = \pi(1 + 2k), \] следовательно: \[ x = \frac{\pi(1 + 2k)}{10}. \]
Опять же, рассматриваем \(x\) на интервале \([0, \pi]\): \[ 0 \leq \frac{\pi(1+2k)}{10} \leq \pi. \]
Разделим условие:
- \(\frac{\pi(1+2k)}{10} \geq 0 \Rightarrow 1+2k \geq 0 \Rightarrow k \geq -\frac{1}{2}\),
- \(\frac{\pi(1+2k)}{10} \leq \pi \Rightarrow 1+2k \leq 10 \Rightarrow 2k \leq 9 \Rightarrow k \leq 4.5\).
Так как \(k\) — целое число, возможные значения: \[ k = 0, 1, 2, 3, 4. \]
Для каждого:
- \(k=0:\quad x=\frac{\pi(1+0)}{10}=\frac{\pi}{10}\),
- \(k=1:\quad x=\frac{\pi(1+2)}{10}=\frac{3\pi}{10}\),
- \(k=2:\quad x=\frac{5\pi}{10}=\frac{\pi}{2}\),
- \(k=3:\quad x=\frac{7\pi}{10}\),
- \(k=4:\quad x=\frac{9\pi}{10}\).
Шаг 4: Итоговые корни
Объединяем все решения и убираем дубли:
\[ x=0,\quad x=\frac{\pi}{2},\quad x=\pi, \] \[ x=\frac{\pi}{10},\quad x=\frac{3\pi}{10},\quad x=\frac{7\pi}{10},\quad x=\frac{9\pi}{10}. \]
Записываем все корни в порядке возрастания:
\[ x=0,\quad \frac{\pi}{10},\quad \frac{3\pi}{10},\quad \frac{\pi}{2},\quad \frac{7\pi}{10},\quad \frac{9\pi}{10},\quad \pi. \]
Шаг 5: Находим сумму корней
Сумма: \[ 0 + \frac{\pi}{10} + \frac{3\pi}{10} + \frac{\pi}{2} + \frac{7\pi}{10} + \frac{9\pi}{10} + \pi. \]
Приведём всё к общему знаменателю \(10\): \[ 0 + \frac{\pi}{10} + \frac{3\pi}{10} + \frac{5\pi}{10} + \frac{7\pi}{10} + \frac{9\pi}{10} + \frac{10\pi}{10}. \]
Общая сумма: \[ \frac{\pi}{10} + \frac{3\pi}{10} + \frac{5\pi}{10} + \frac{7\pi}{10} + \frac{9\pi}{10} + \frac{10\pi}{10} = \frac{\pi(1+3+5+7+9+10)}{10}. \]
Внутри скобок: \[ 1+3+5+7+9=25,\quad 25+10=35. \]
Итого сумма: \[ \frac{35\pi}{10} = \frac{7\pi}{2}. \]
Шаг 6: Умножение на \(2\pi\)
\[ \boxed{ \left(\frac{7\pi}{2}\right) \times 2\pi = \frac{7\pi}{2} \times 2\pi = 7\pi \times \pi = 7 \pi^2. } \]
Ответ: \(\boxed{7 \pi^2}\).
