Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждое действие.
Задача:
В первый день натпша нашла 3 жетона. Каждый следующий день она находит в 2 раза больше, чем в предыдущий. Нужно найти, сколько всего жетонов она найдёт за 6 дней.
Шаг 1. Определим количество жетонов, найденных в каждый день
- В первый день: ( a_1 = 3 )
- Во второй день: ( a_2 = 2 \times a_1 = 2 \times 3 = 6 )
- В третий день: ( a_3 = 2 \times a_2 = 2 \times 6 = 12 )
Обратите внимание, что каждый день количество жетонов удваивается по сравнению с предыдущим.
Это — геометрическая прогрессия, где:
- первый член ( a_1 = 3 ),
- множитель (знаменатель прогрессии) — 2.
Шаг 2. Запишем общее выражение для каждого дня
Количество жетонов, найденных в ( n )-й день:
[
a_n = a_1 \times 2^{n-1}
]
где:
- ( a_1 = 3 ),
- ( n ) — номер дня.
Для 6 дней:
[
a_1 = 3
]
[
a_2 = 3 \times 2^{1} = 6
]
[
a_3 = 3 \times 2^{2} = 12
]
[
a_4 = 3 \times 2^{3} = 24
]
[
a_5 = 3 \times 2^{4} = 48
]
[
a_6 = 3 \times 2^{5} = 96
]
Шаг 3. Найдём сумму жетонов за все 6 дней
Сумма ( S ) равна:
[
S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6
]
Подставим выражения:
[
S = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96
]
или, используя формулу суммы геометрической прогрессии:
[
S_n = a_1 \times \frac{q^n - 1}{q - 1}
]
где:
- ( a_1 = 3 ),
- ( q = 2 ),
- ( n = 6 ).
Подставим:
[
S_6 = 3 \times \frac{2^{6} - 1}{2 - 1} = 3 \times \frac{64 - 1}{1} = 3 \times 63 = 189
]
Ответ:
За 6 дней натпша найдёт всего 189 жетонов.
Если нужно, я могу пояснить или рассчитать что-то ещё!
