Давайте подробно разберем эту задачу и сделаем пошаговый расчет.
Дано:
- Скорость течения реки, ( v_{рек} = 3 \text{ км/ч} ),
- Собственная скорость теплохода, ( v_{соб} = 18 \text{ км/ч} ),
- Общая длительность рейса (включая стоянку), ( T_{общ} = 25 \text{ часов} ),
- Время стоянки, ( T_{стоянка} = 13 \text{ часов} ).
Нам нужно найти, сколько километров прошел теплоход за весь рейс, то есть сумму расстояний туда и обратно.
Шаг 1: Определим время в пути
Общее время в пути (без стоянки):
[
T_{путь} = T_{общ} - T_{стоянка} = 25 - 13 = 12 \text{ часов}
]
Шаг 2: Обозначим неизвестную длину пути
Пусть:
- ( L ) — расстояние от пункта А до пункта В по реке в одну сторону.
Шаг 3: Найдем скорость по реке и против течения
В направлении от А к В: скорость теплохода относительно берега:
[
v_{вперед} = v_{соб} + v_{рек} = 18 + 3 = 21 \text{ км/ч}
]
В обратном направлении (от В к А):
[
v_{обратно} = v_{соб} - v_{рек} = 18 - 3 = 15 \text{ км/ч}
]
Шаг 4: Время на путь туда и обратно
Пусть время пути туда — ( t_1 ), а в обратную сторону — ( t_2 ). Тогда:
[
t_1 = \frac{L}{v_{вперед}} = \frac{L}{21}
]
[
t_2 = \frac{L}{v_{обратно}} = \frac{L}{15}
]
Общее время в пути:
[
t_1 + t_2 = 12 \text{ часов}
]
Подставим и решим уравнение:
[
\frac{L}{21} + \frac{L}{15} = 12
]
Шаг 5: Решение уравнения
Общий знаменатель — 105 (наименьшее общее кратное 21 и 15):
[
\frac{5L}{105} + \frac{7L}{105} = 12
]
[
\frac{5L + 7L}{105} = 12
]
[
\frac{12L}{105} = 12
]
Упростим:
[
\frac{12L}{105} = 12
]
[
12L = 12 \times 105
]
[
12L = 1260
]
Поделим обе части на 12:
[
L = \frac{1260}{12} = 105 \text{ км}
]
Ответ:
Расстояние в один путь — 105 км.
Общий пройденный путь за весь рейс (туда и обратно):
[
2 \times L = 2 \times 105 = \boxed{210 \text{ км}}
]
Если есть еще вопросы — обращайтесь!
