У бабушки есть садик, который состоит из восьми клумб, образующих правильный шестиугольник. Каждую грядку бабушка хочет засадить или гладиолусами, или флоксами. При этом бабушка…
У бабушки есть садик, который состоит из восьми клумб, образующих правильный шестиугольник. Каждую грядку бабушка хочет засадить или гладиолусами, или флоксами. При этом бабушка хочет, чтобы нашлась хотя бы одна пара соседних клумб с общей стороной с цветками одинакового вида. Три различных примера, как это сделать, приведены на рисунке. Сколько у бабушки есть вариантов так засадить грядки?
Для решения этой задачи нужно определить число способов засадить 8 клумб, образующих правильный шестиугольник, двумя видами цветов (гладиолусами и флоками), при условии, что хотя бы одна пара соседних клумб имеет одинаковый цвет.
Обозначим:
- Каждую клумбу как вершину графа (шестиугольника с 8 вершинами, возможно, включающего внутренние рёбра или все вершины расположены по окружности).
- Цвет каждой клумбы как 0 (например, гладиолус) или 1 (флокс).
Задача сводится к нахождению количества способов покрасить вершины графа двумя цветами так, чтобы было не менее одной пары соседних вершин одинакового цвета.
Подход к решению:
- Общее число способов покрасить 8 клумб двумя цветами:
Всего способов: \( 2^8 = 256 \).
- Вычитание случаев, когда никакая пара соседних клумб не одного цвета:
Это есть, когда все соседние клумбы разных цветов. То есть, раскраска чередуется (через одну).
Для кольца из 8 вершин, попасть в такую категорию — значит, раскрасить вершины в два цвета чередуя: например, 0-1-0-1-0-1-0-1 или 1-0-1-0-1-0-1-0.
Таких раскрасок — ровно 2 (начиная с 0 или с 1).
Итог:
\[ \text{Количество вариантов, где нет соседей одинакового цвета} = 2 \]
- Ответ:
\[ \text{Количество способов, при которых есть хотя бы одна пара соседних одинаковых цветов} = 256 - 2 = \boxed{254} \]
Итоговая ответ:
У бабушки есть 254 варианта засадить клумбы двумя видами так, чтобы хотя бы одна пара соседних клумб имела одинаковый цвет.
