Реши 5,6,7 номера

Конечно! Рассмотрим задачи 5, 6 и 7 шаг за шагом. --- ### Задача 5 *Дано:* - \( y = \frac{8}{x} \) - \( y = \sqrt{x} \) *Найти:* Общие точки графиков. --- **Шаг 1. Запишем уравнения:** \[ \frac{8}{x} = \sqrt{x} \] **Шаг 2. Решим уравнение:** \[ \frac{8}{x} = x^{1/2} \] Обозначим \( x > 0 \), так как \( \sqrt{x} \) определено для \( x \geq 0 \). Перемножим обе части на \( x \): \[ 8 = x^{1/2} \cdot x = x^{3/2} \] Теперь решим относительно \( x \): \[ x^{3/2} = 8 \] Возьмем обе части в степень \( \frac{2}{3} \): \[ x = 8^{2/3} \] Рассчитаем \( 8^{2/3} \): \[ 8^{2/3} = (8^{1/3})^2 = 2^2 = 4 \] (так как \( 8^{1/3} = 2 \)). **Ответ:** Общие точки графика — одна точка: \( x=4 \). Подставим \( x=4 \) в одно из уравнений: \[ y = \frac{8}{4} = 2 \] или \[ y=\sqrt{4} = 2 \] Оба дают одинаковый результат. **Общий ответ:** Общая точка — \( (4, 2) \). --- ### Задача 6 *Дано:* - \( f(x) = |x| \) - \( f(x) = \sqrt{x} \) - \( f(x) = \frac{k}{x} \), где \( k < 0 \) - \( f(x) = x^3 \) **Найти:** а) область определения функции б) множество значений функции в) нули функции г) промежутки знакопостоянства д) промежутки монотонности --- **А) Область определения:** - \( |x| \): для всех \( x \in \mathbb{R} \). - \( \sqrt{x} \): для \( x \geq 0 \). - \( \frac{k}{x} \): для \( x \neq 0 \). - \( x^3 \): для всех \( x \). Объединим все: Область, где все функции определены — это пересечение их областей: \[ x \geq 0 \quad (\text{из } \sqrt{x}) \\ x \neq 0 \quad (\text{из } \frac{k}{x}) \] Следовательно, **область определения**: \[ (0, +\infty) \] --- **Б) Множество значений:** - \( |x| \), при \( x > 0 \), принимает все значения \( y \geq 0 \). - \( \sqrt{x} \) — тоже все значения \( y \geq 0 \). - \( \frac{k}{x} \) со \( k<0 \) — \( y \) отрицательны и могут быть любыми, кроме \( 0 \). - \( x^3 \) — все значения \( y \in \mathbb{R} \). Наиболее «последовательное» множество — всё \( \mathbb{R} \), так как и \( x^3 \), и \( \frac{k}{x} \) на изображении покрывают всю числовую ось (учитывая положительные и отрицательные). **Ответ:** \(\mathbb{R}\). --- **В) Нули функции:** Ноль функции для каждого вида: - \( |x| = 0 \) при \( x=0 \), но это не в области определения, так как \( x \in (0, \infty) \). - \( \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x=0 \) — не входит в область. - \( \frac{k}{x}=0 \Rightarrow \) нельзя, так как \( \frac{k}{x} = 0 \) если \( k=0 \), а \( k<0 \). - \( x^3=0 \Rightarrow x=0 \), не входит в область. **Вывод:** Ни для одной из функций в области определения нуль точек не существует. **Ответ:** нет нулей функции в области определения. --- **Г) Промежутки знакопостоянства:** - \( |x| \): \(\geq 0\) при \( x \neq 0 \), после \( 0 \) — положительно. - \( \sqrt{x} \): возрастание на \( (0, +\infty) \). - \( \frac{k}{x} \), \( k<0 \): отрицательное при \( x>0 \), убывает при \( x \to 0^+ \) и стремится к 0 при \( x \to +\infty \). - \( x^3 \): возрастает на \( \mathbb{R} \). --- **Д) Промежутки монотонности:** - \( |x| \): - **На интервале** \( (0, \infty) \): функция возрастает. - В области определения — \( (0, \infty) \) — возрастает. - \( \sqrt{x} \): — возрастает на \( (0, \infty) \). - \( \frac{k}{x} \): — при \( k<0 \), функция убывает на \( (0, \infty) \). - \( x^3 \): — возрастает на \( \mathbb{R} \). --- ### Итог по задаче 6: **Область определения:** \( (0, \infty) \) **Множество значений:** \( \mathbb{R} \) **Номеров нулей:** нет (функции не равны нулю на области определения) **Промежутки монотонности:** - \( |x| \): возрастает для \( x>0 \). - \( \sqrt{x} \): возрастает. - \( \frac{k}{x} \): убывает. - \( x^3 \): возрастает. --- ### Задача 7 Расположите точки в порядке возрастания \( f(5,12), \, f(13,7), \, f(9,29) \): *Дано:* - \( f(x) = |x| \) - \( f(x) = \sqrt{x} \) - \( f(x) = \frac{k}{x} \), где \( k>0 \), или \( ... \) — предположим, функции условно одинакового типа. - \( f(x) = x^3 \) --- **Понимание:** Посчитаем по каждой функции для данных \( x \): 1. \( f(5,12) \): - Если \( f(x) = |x| \), то \( f(5)=5 \), \( f(12)=12 \). - Если \( f(x) = \sqrt{x} \): - \( f(5)= \sqrt{5} \approx 2.24 \) - \( f(12) = \sqrt{12} \approx 3.46 \) - Если это \( \frac{k}{x} \), то зависит от \( k \), без точных значений определить сложно. - Если \( f(x) = x^3 \): - \( 5^3=125 \), \( 12^3=1728 \). Поскольку у функции, дающей наибольшие значения в конце, скорее всего, \( x^3 \), и она растет быстрее всех. --- 2. Аналогично для остальных точек. --- **В общем, порядок зависит от функции.** Без уточнения, предполагаем, что: - \( f(x)=x^3 \) — быстро растет. - \( f(x)=|x| \) — растет медленнее. - \( f(x)=\sqrt{x} \) — еще медленнее. - \( f(x)=\frac{k}{x} \) — уменьшается при росте \( x \) если \( k>0 \). **Пример порядка при условии:** | \( x \) | \( f(x) = |x| \) | \( f(x)=\sqrt{x} \) | \( f(x)=x^3 \) | \( f(x)= \frac{k}{x} \) (зависит от \( k \), допустим \( k=10 \))