Реши 5,6,7 номера
Конечно! Рассмотрим задачи 5, 6 и 7 шаг за шагом.
Задача 5
Дано:
- \( y = \frac{8}{x} \)
- \( y = \sqrt{x} \)
Найти:
Общие точки графиков.
Шаг 1. Запишем уравнения:
\[ \frac{8}{x} = \sqrt{x} \]
Шаг 2. Решим уравнение:
\[ \frac{8}{x} = x^{1/2} \]
Обозначим \( x > 0 \), так как \( \sqrt{x} \) определено для \( x \geq 0 \).
Перемножим обе части на \( x \):
\[ 8 = x^{1/2} \cdot x = x^{3/2} \]
Теперь решим относительно \( x \):
\[ x^{3/2} = 8 \]
Возьмем обе части в степень \( \frac{2}{3} \):
\[ x = 8^{2/3} \]
Рассчитаем \( 8^{2/3} \):
\[ 8^{2/3} = (8^{1/3})^2 = 2^2 = 4 \]
(так как \( 8^{1/3} = 2 \)).
Ответ:
Общие точки графика — одна точка: \( x=4 \).
Подставим \( x=4 \) в одно из уравнений:
\[ y = \frac{8}{4} = 2 \]
или
\[ y=\sqrt{4} = 2 \]
Оба дают одинаковый результат.
Общий ответ:
Общая точка — \( (4, 2) \).
Задача 6
Дано:
- \( f(x) = |x| \)
- \( f(x) = \sqrt{x} \)
- \( f(x) = \frac{k}{x} \), где \( k < 0 \)
- \( f(x) = x^3 \)
Найти:
а) область определения функции
б) множество значений функции
в) нули функции
г) промежутки знакопостоянства
д) промежутки монотонности
А) Область определения:
- \( |x| \): для всех \( x \in \mathbb{R} \).
- \( \sqrt{x} \): для \( x \geq 0 \).
- \( \frac{k}{x} \): для \( x \neq 0 \).
- \( x^3 \): для всех \( x \).
Объединим все:
Область, где все функции определены — это пересечение их областей:
\[ x \geq 0 \quad (\text{из } \sqrt{x}) \\ x \neq 0 \quad (\text{из } \frac{k}{x}) \]
Следовательно, область определения:
\[ (0, +\infty) \]
Б) Множество значений:
- \( |x| \), при \( x > 0 \), принимает все значения \( y \geq 0 \).
- \( \sqrt{x} \) — тоже все значения \( y \geq 0 \).
- \( \frac{k}{x} \) со \( k<0 \) — \( y \) отрицательны и могут быть любыми, кроме \( 0 \).
- \( x^3 \) — все значения \( y \in \mathbb{R} \).
Наиболее «последовательное» множество — всё \( \mathbb{R} \), так как и \( x^3 \), и \( \frac{k}{x} \) на изображении покрывают всю числовую ось (учитывая положительные и отрицательные).
Ответ: \(\mathbb{R}\).
В) Нули функции:
Ноль функции для каждого вида:
- \( |x| = 0 \) при \( x=0 \), но это не в области определения, так как \( x \in (0, \infty) \).
- \( \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x=0 \) — не входит в область.
- \( \frac{k}{x}=0 \Rightarrow \) нельзя, так как \( \frac{k}{x} = 0 \) если \( k=0 \), а \( k<0 \).
- \( x^3=0 \Rightarrow x=0 \), не входит в область.
Вывод:
Ни для одной из функций в области определения нуль точек не существует.
Ответ: нет нулей функции в области определения.
Г) Промежутки знакопостоянства:
- \( |x| \): \(\geq 0\) при \( x \neq 0 \), после \( 0 \) — положительно.
- \( \sqrt{x} \): возрастание на \( (0, +\infty) \).
- \( \frac{k}{x} \), \( k<0 \): отрицательное при \( x>0 \), убывает при \( x \to 0^+ \) и стремится к 0 при \( x \to +\infty \).
- \( x^3 \): возрастает на \( \mathbb{R} \).
Д) Промежутки монотонности:
\( |x| \):
- На интервале \( (0, \infty) \): функция возрастает.
- В области определения — \( (0, \infty) \) — возрастает.
\( \sqrt{x} \): — возрастает на \( (0, \infty) \).
\( \frac{k}{x} \): — при \( k<0 \), функция убывает на \( (0, \infty) \).
\( x^3 \): — возрастает на \( \mathbb{R} \).
Итог по задаче 6:
Область определения: \( (0, \infty) \)
Множество значений: \( \mathbb{R} \)
Номеров нулей: нет (функции не равны нулю на области определения)
Промежутки монотонности:
- \( |x| \): возрастает для \( x>0 \).
- \( \sqrt{x} \): возрастает.
- \( \frac{k}{x} \): убывает.
- \( x^3 \): возрастает.
Задача 7
Расположите точки в порядке возрастания \( f(5,12), \, f(13,7), \, f(9,29) \):
Дано:
- \( f(x) = |x| \)
- \( f(x) = \sqrt{x} \)
- \( f(x) = \frac{k}{x} \), где \( k>0 \), или \( ... \) — предположим, функции условно одинакового типа.
- \( f(x) = x^3 \)
Понимание:
Посчитаем по каждой функции для данных \( x \):
- \( f(5,12) \):
- Если \( f(x) = |x| \), то \( f(5)=5 \), \( f(12)=12 \).
- Если \( f(x) = \sqrt{x} \):
- \( f(5)= \sqrt{5} \approx 2.24 \)
- \( f(12) = \sqrt{12} \approx 3.46 \)
- Если это \( \frac{k}{x} \), то зависит от \( k \), без точных значений определить сложно.
- Если \( f(x) = x^3 \):
- \( 5^3=125 \), \( 12^3=1728 \).
Поскольку у функции, дающей наибольшие значения в конце, скорее всего, \( x^3 \), и она растет быстрее всех.
- Аналогично для остальных точек.
В общем, порядок зависит от функции.
Без уточнения, предполагаем, что:
- \( f(x)=x^3 \) — быстро растет.
- \( f(x)=|x| \) — растет медленнее.
- \( f(x)=\sqrt{x} \) — еще медленнее.
- \( f(x)=\frac{k}{x} \) — уменьшается при росте \( x \) если \( k>0 \).
Пример порядка при условии:
| \( x \) | \( f(x) = |x| \) | \( f(x)=\sqrt{x} \) | \( f(x)=x^3 \) | \( f(x)= \frac{k}{x} \) (зависит от \( k \), допустим \( k=10 \))
