Оптическая система из двух расположенных вплотную тонких собирающих линз позволяет получить увеличение предмета, равное г = 5. Рассчитай оптическую силу одной линзы, учитывая…

Давайте подробно разберем задачу и шаг за шагом решим её.

Дано:

• Увеличение системы, г = 5
• Расстояние от предмета до изображения, l = 15 см
• В системе две тонкие собирающие линзы, расположенные вплотную

Требуется:

• Оптическая сила одной линзы (по модулю)

---

Шаг 1. Определим основные понятия и формулы

Увеличение системы (г)

Для сборающих линз увеличение по размеру предмета-изображёния определяется формулой:

\[ g = \frac{h'}{h} = \frac{b}{f} \]

где:

• \(h'\) — высота изображения,
• \(h\) — высота предмета,
• \(b\) — расстояние от линзы до изображения,
• \(f\) — фокусное расстояние линзы.

Однако для системы из двух линз, расположенных вплотную, общая характеристика увеличения связана с увеличениями каждой из них.

---

Шаг 2. Связь между увеличением, расстоянием и фокусным расстоянием

Для тонкой линзы отношение изображения к предмету выражается через: \[ \frac{I}{O} = -\frac{b}{g} \] где:

• \(b\) — расстояние от линзы до изображения,
• \(O\) — расстояние от линзы до предмета.

Общая оптическая схема с двумя линзами: предмет находится перед первой линзой, изображение первой линзы — в точке, где находится вторая линза, затем второе изображение — финальный результат.

---

Шаг 3. Используем условие, что сумма расстояний равна 15 см

Из условия, расстояние от предмета до изображения: \[ l = 15 \text{ см} \]

Для системы из двух линз, расположенных вплотную, считаем, что между ними — нулевая дистанция.

---

Шаг 4. Расчет фокусного расстояния одной линзы

Обозначим:

• \(F\) — фокусное расстояние одной линзы,
• \(g\) — увеличение системы (5),
• \(b_1\) — расстояние от первой линзы до предмета,
• \(b_2\) — расстояние от второй линзы до финального изображения.

Поскольку линзы вплотную и изображение формируется, мы можем предположить, что: \[ b_1 + b_2 = l = 15 \text{ см} \] Или, если предмет находится за первой линзой, а изображение — после второй, то:

\[ b_1 = \frac{h'}{h} \cdot b_2 = g \cdot b_2 \]

Общий вариант — \(b_1 + b_2 = l\), тогда:

\[ b_2 = \frac{l}{g + 1} \] \[ b_1 = g \cdot b_2 = g \cdot \frac{l}{g + 1} \]

Подставим числовые значения: \[ b_2 = \frac{15}{5 + 1} = \frac{15}{6} = 2.5 \text{ см} \] \[ b_1 = 5 \times 2.5 = 12.5 \text{ см} \]

---

Шаг 5. Определение фокусных расстояний линз

Формула тонкой линзы: \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{d_o} \] где:

• \(d_o\) — расстояние от предмета до линзы,
• \(b\) — изображение.

Рассматриваем первую линзу: \[ b_1 = 12.5 \text{ см} \] и предполагаемый \(d_{o1}\) равен расстоянию от предмета до первой линзы (по условию — допустим, что предмет находится на расстоянии \(b_1\)). Тогда после переформулировки:

\[ \frac{1}{f_1} = \frac{1}{b_1} + \frac{1}{d_{o1}} \]

Аналогично для второй линзы.

Но более удобно использовать формулу для получения фокусного расстояния через увеличение:

---

Шаг 6. Связь с увеличением и фокусом

Для тонкой линзы: \[ g = - \frac{b}{d_o} \] Обратим внимание, что для собирающей линзы: \[ b > 0, \quad d_o > 0, \quad g > 0 \]

Следовательно: \[ b = g \times d_o \]

Из условия, что изображение находится на расстоянии \(b\), а предмет — на расстоянии \(d_o\), \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{d_o} \]

Подставляем \(b = g \times d_o\): \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{g \times d_o} + \frac{1}{d_o} = \frac{1 + g}{g \times d_o} \]

Отсюда: \[ f = \frac{g \times d_o}{1 + g} \]

Значит, если мы знаем \(d_o\), можем найти \(f\).

---

Шаг 7. Найдем фокусное расстояние \(f\)

Общая длина системы \(l = 15\) см, и предполагая, что:

• \(d_{o1} \approx 12.5\) см,
• \(d_{o2} \approx 2.5\) см,

подставим:

\[ f_1 = \frac{g \times 12.5}{1 + g} = \frac{5 \times 12.5}{6} \approx \frac{62.5}{6} \approx 10.42 \text{ см} \]

Аналогично,

\[ f_2 \approx \frac{g \times 2.5}{1 + g} = \frac{5 \times 2.5}{6} \approx 2.08 \text{ см} \]

Значит, оптическая сила (обратная фокусного расстояния, с учетом знака — собирающая линза, положительное \(F\)):

\[ D = \frac{1}{f} \text{ (в метрах)} \]

Переведем в метры: \[ f_1 \approx 0.1042 \text{ м} \] \[ D_1 \approx \frac{1}{0.1042} \approx 9.6 \text{ диоптрий} \]

---

Ответ:

Оптическая сила одной линзы приблизительно равна 10 диоптрий.

---

Если нужно округлить до целых — Ответ: 10 диоптрий.

---

Если есть дополнительные уточнения, могу помочь доработать расчет!