(3 5/8 +1/4+7/12)+((4 8/15 +11/30+17/45)+(3/4+12 1/6+10 2/5))

Давайте решим данное выражение шаг за шагом и подробно объясним каждый этап. Выражение: \[ (3 \tfrac{5}{8} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{7}{12}) + \left( (4 \tfrac{8}{15} + \tfrac{11}{30} + \tfrac{17}{45}) + (\tfrac{3}{4} + 12 \tfrac{1}{6} + 10 \tfrac{2}{5}) \right) \] **Шаг 1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.** - \(3 \tfrac{5}{8} = \frac{3 \times 8 + 5}{8} = \frac{24 + 5}{8} = \frac{29}{8}\) - \(4 \tfrac{8}{15} = \frac{4 \times 15 + 8}{15} = \frac{60 + 8}{15} = \frac{68}{15}\) - \(12 \tfrac{1}{6} = \frac{12 \times 6 + 1}{6} = \frac{72 + 1}{6} = \frac{73}{6}\) - \(10 \tfrac{2}{5} = \frac{10 \times 5 + 2}{5} = \frac{50 + 2}{5} = \frac{52}{5}\) Также обозначим остальные числа: \(\frac{1}{4}\), \(\frac{7}{12}\), \(\frac{11}{30}\), \(\frac{17}{45}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{73}{6}\), \(\frac{52}{5}\). --- **Шаг 2. Вычисляем сумму первой скобки:** \[ A = \frac{29}{8} + \frac{1}{4} + \frac{7}{12} \] Приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное знаменателей 8, 4, 12 — 24. - \(\frac{29}{8} = \frac{29 \times 3}{8 \times 3} = \frac{87}{24}\) - \(\frac{1}{4} = \frac{1 \times 6}{4 \times 6} = \frac{6}{24}\) - \(\frac{7}{12} = \frac{7 \times 2}{12 \times 2} = \frac{14}{24}\) Теперь складываем: \[ A = \frac{87 + 6 + 14}{24} = \frac{107}{24} \] Это несократимая дробь, так как 107 — простое число. --- **Шаг 3. Вычисляем сумму внутри второй скобки:** Она состоит из двух частей: \[ B = 4 \tfrac{8}{15} + \frac{11}{30} + \frac{17}{45} \] и \[ C = \frac{3}{4} + 12 \tfrac{1}{6} + 10 \tfrac{2}{5} \] **Часть B:** Преобразуем смешанное число: \(4 \tfrac{8}{15} = \frac{68}{15}\) Теперь найдём общий знаменатель для \(\frac{68}{15}\), \(\frac{11}{30}\), \(\frac{17}{45}\): - Знаменатели: 15, 30, 45 - НОК (наименьшее общее кратное): 90 (так как \(15 = 3 \times 5\), \(30 = 2 \times 3 \times 5\), а \(45=3^2 \times 5\)) Приведем: - \(\frac{68}{15} = \frac{68 \times 6}{15 \times 6} = \frac{408}{90}\) - \(\frac{11}{30} = \frac{11 \times 3}{30 \times 3} = \frac{33}{90}\) - \(\frac{17}{45} = \frac{17 \times 2}{45 \times 2} = \frac{34}{90}\) Складываем: \[ B = \frac{408 + 33 + 34}{90} = \frac{475}{90} \] Можно сократить: \[ \frac{475}{90} = \frac{95}{18} \quad (\div 5) \] Дробь несократимая, так как 95 и 18 не имеют общих делителей (95 — 5*19, 18 — 2*3^2). --- **Часть C:** Преобразуем смешанные числа: - \(12 \tfrac{1}{6} = \frac{73}{6}\) - \(10 \tfrac{2}{5} = \frac{52}{5}\) Общий знаменатель для \(\frac{3}{4}\), \(\frac{73}{6}\), \(\frac{52}{5}\): Знаменатели: 4, 6, 5. НОК: 60 Приведем к знаменателю 60: - \(\frac{3}{4} = \frac{3 \times 15}{4 \times 15} = \frac{45}{60}\) - \(\frac{73}{6} = \frac{73 \times 10}{6 \times 10} = \frac{730}{60}\) - \(\frac{52}{5} = \frac{52 \times 12}{5 \times 12} = \frac{624}{60}\) Складываем: \[ C = \frac{45 + 730 + 624}{60} = \frac{1399}{60} \] Данная дробь — несократимая. Теперь сумму B + C: \[ B + C = \frac{95}{18} + \frac{1399}{60} \] Общий знаменатель: - Разложим: 18 = 2 * 3^2 - 60 = 2^2 * 3 * 5 НОК для 18 и 60 — 180 (наименьшее общее кратное). Приведем обе дроби к знаменателю 180: - \(\frac{95}{18} = \frac{95 \times 10}{180} = \frac{950}{180}\) - \(\frac{1399}{60} = \frac{1399 \times 3}{180} = \frac{4197}{180}\) Складываем: \[ B + C = \frac{950 + 4197}{180} = \frac{5147}{180} \] --- **Шаг 4. Итоговая сумма** Теперь вернемся к первой части — итог суммы: \[ A = \frac{107}{24} \] и \[ B + C = \frac{5147}{180} \] Найдем общий знаменатель для \(\frac{107}{24}\) и \(\frac{5147}{180}\): - Знаменатели 24 и 180 - Наименьшее общее кратное: 360 Преобразуем: - \(\frac{107}{24} = \frac{107 \times 15}{360} = \frac{1605}{360}\) - \(\frac{5147}{180} = \frac{5147 \times 2}{360} = \frac{10294}{360}\) Теперь складываем: \[ \frac{1605 + 10294}{360} = \frac{11899}{360} \] Это — финальный результат, несократимая дробь. --- ### Итог: \[ \boxed{ \frac{11899}{360} } \] или в смешанном виде: Делим 11899 на 360: - 360 × 33 = 11880 - Остаток: 11899 — 11880 = 19 Значит: \[ \frac{11899}{360} = 33 \tfrac{19}{360} \] **Ответ:** \(\boxed{33 \tfrac{19}{360}}\)