(3 5/8 +1/4+7/12)+((4 8/15 +11/30+17/45)+(3/4+12 1/6+10 2/5))
Давайте решим данное выражение шаг за шагом и подробно объясним каждый этап.
Выражение:
\[
(3 \tfrac{5}{8} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{7}{12}) + \left( (4 \tfrac{8}{15} + \tfrac{11}{30} + \tfrac{17}{45}) + (\tfrac{3}{4} + 12 \tfrac{1}{6} + 10 \tfrac{2}{5}) \right)
\]
Шаг 1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
- \(3 \tfrac{5}{8} = \frac{3 \times 8 + 5}{8} = \frac{24 + 5}{8} = \frac{29}{8}\)
- \(4 \tfrac{8}{15} = \frac{4 \times 15 + 8}{15} = \frac{60 + 8}{15} = \frac{68}{15}\)
- \(12 \tfrac{1}{6} = \frac{12 \times 6 + 1}{6} = \frac{72 + 1}{6} = \frac{73}{6}\)
- \(10 \tfrac{2}{5} = \frac{10 \times 5 + 2}{5} = \frac{50 + 2}{5} = \frac{52}{5}\)
Также обозначим остальные числа:
\(\frac{1}{4}\), \(\frac{7}{12}\), \(\frac{11}{30}\), \(\frac{17}{45}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{73}{6}\), \(\frac{52}{5}\).
Шаг 2. Вычисляем сумму первой скобки: \[ A = \frac{29}{8} + \frac{1}{4} + \frac{7}{12} \]
Приведем все дроби к общему знаменателю.
Наименьшее общее кратное знаменателей 8, 4, 12 — 24.
- \(\frac{29}{8} = \frac{29 \times 3}{8 \times 3} = \frac{87}{24}\)
- \(\frac{1}{4} = \frac{1 \times 6}{4 \times 6} = \frac{6}{24}\)
- \(\frac{7}{12} = \frac{7 \times 2}{12 \times 2} = \frac{14}{24}\)
Теперь складываем:
\[
A = \frac{87 + 6 + 14}{24} = \frac{107}{24}
\]
Это несократимая дробь, так как 107 — простое число.
Шаг 3. Вычисляем сумму внутри второй скобки:
Она состоит из двух частей:
\[ B = 4 \tfrac{8}{15} + \frac{11}{30} + \frac{17}{45} \] и \[ C = \frac{3}{4} + 12 \tfrac{1}{6} + 10 \tfrac{2}{5} \]
Часть B:
Преобразуем смешанное число:
\(4 \tfrac{8}{15} = \frac{68}{15}\)
Теперь найдём общий знаменатель для \(\frac{68}{15}\), \(\frac{11}{30}\), \(\frac{17}{45}\):
- Знаменатели: 15, 30, 45
- НОК (наименьшее общее кратное): 90 (так как \(15 = 3 \times 5\), \(30 = 2 \times 3 \times 5\), а \(45=3^2 \times 5\))
Приведем:
- \(\frac{68}{15} = \frac{68 \times 6}{15 \times 6} = \frac{408}{90}\)
- \(\frac{11}{30} = \frac{11 \times 3}{30 \times 3} = \frac{33}{90}\)
- \(\frac{17}{45} = \frac{17 \times 2}{45 \times 2} = \frac{34}{90}\)
Складываем:
\[
B = \frac{408 + 33 + 34}{90} = \frac{475}{90}
\]
Можно сократить:
\[
\frac{475}{90} = \frac{95}{18} \quad (\div 5)
\]
Дробь несократимая, так как 95 и 18 не имеют общих делителей (95 — 519, 18 — 23^2).
Часть C:
Преобразуем смешанные числа:
- \(12 \tfrac{1}{6} = \frac{73}{6}\)
- \(10 \tfrac{2}{5} = \frac{52}{5}\)
Общий знаменатель для \(\frac{3}{4}\), \(\frac{73}{6}\), \(\frac{52}{5}\):
Знаменатели: 4, 6, 5.
НОК: 60
Приведем к знаменателю 60:
- \(\frac{3}{4} = \frac{3 \times 15}{4 \times 15} = \frac{45}{60}\)
- \(\frac{73}{6} = \frac{73 \times 10}{6 \times 10} = \frac{730}{60}\)
- \(\frac{52}{5} = \frac{52 \times 12}{5 \times 12} = \frac{624}{60}\)
Складываем:
\[
C = \frac{45 + 730 + 624}{60} = \frac{1399}{60}
\]
Данная дробь — несократимая.
Теперь сумму B + C:
\[
B + C = \frac{95}{18} + \frac{1399}{60}
\]
Общий знаменатель:
- Разложим: 18 = 2 * 3^2
- 60 = 2^2 * 3 * 5
НОК для 18 и 60 — 180 (наименьшее общее кратное).
Приведем обе дроби к знаменателю 180:
- \(\frac{95}{18} = \frac{95 \times 10}{180} = \frac{950}{180}\)
- \(\frac{1399}{60} = \frac{1399 \times 3}{180} = \frac{4197}{180}\)
Складываем:
\[
B + C = \frac{950 + 4197}{180} = \frac{5147}{180}
\]
Шаг 4. Итоговая сумма
Теперь вернемся к первой части — итог суммы:
\[ A = \frac{107}{24} \] и \[ B + C = \frac{5147}{180} \]
Найдем общий знаменатель для \(\frac{107}{24}\) и \(\frac{5147}{180}\):
- Знаменатели 24 и 180
- Наименьшее общее кратное: 360
Преобразуем:
- \(\frac{107}{24} = \frac{107 \times 15}{360} = \frac{1605}{360}\)
- \(\frac{5147}{180} = \frac{5147 \times 2}{360} = \frac{10294}{360}\)
Теперь складываем:
\[
\frac{1605 + 10294}{360} = \frac{11899}{360}
\]
Это — финальный результат, несократимая дробь.
Итог:
\[ \boxed{ \frac{11899}{360} } \]
или в смешанном виде:
Делим 11899 на 360:
- 360 × 33 = 11880
- Остаток: 11899 — 11880 = 19
Значит:
\[
\frac{11899}{360} = 33 \tfrac{19}{360}
\]
Ответ: \(\boxed{33 \tfrac{19}{360}}\)
