Решить неравенство x+6,2/x-1,6 меньше или равно 0 (x+13)(x+2)/x-13 больше или равно 0 x+7,2/(8-x)(x-2) больше или равно 0
Давайте подробно решим каждое из представленных неравенств. Буду показывать пошаговые объяснения и объяснять каждую операцию. Поскольку конкретный класс или предмет не указаны, я буду использовать общие математические знания для старших школ.
1. Неравенство: \(\frac{x + 6.2}{x - 1.6} \leq 0\)
Шаг 1. Запишем исходное неравенство:
\[ \frac{x + 6.2}{x - 1.6} \leq 0 \]
Шаг 2. Найдём нули числителя и знаменателя:
- Нуль числителя: \(x + 6.2 = 0 \Rightarrow x = -6.2\)
- Нуль знаменателя: \(x - 1.6 = 0 \Rightarrow x = 1.6\)
Обратите внимание, что при \(x = 1.6\) дробь не определена.
Шаг 3. Построим числовую ось и разделим её линиями по найденным точкам:
\[ -\infty \quad \text{--} \quad -6.2 \quad \text{--} \quad 1.6 \quad \text{--} \quad +\infty \]
На каждом интервале между этими точками необходимо определить знак дроби.
Шаг 4. Определим знак дроби на каждом интервале:
Для \(x < -6.2\):
- числитель: отрицательно (так как \(x + 6.2 < 0\))
- знаменатель: отрицательно (так как \(x < 1.6\))
- деление двух отрицательных чисел даёт положительный результат → знак +
Для \(-6.2 < x < 1.6\):
- числитель: положительно (так как \(x > -6.2\))
- знаменатель: отрицательно (так как \(x < 1.6\))
- деление положительного на отрицательное → знак -
Для \(x > 1.6\):
- числитель: положительно
- знаменатель: положительно
- деление двух положительных → знак +
Шаг 5. Учтём знак неравенства и точки разрыва:
Нам нужно, чтобы дробь была меньше или равна нулю (\(\leq 0\)).
- На интервале \((-\infty, -6.2)\): дробь положительна → не входит.
- На интервале \((-6.2, 1.6)\): дробь отрицательна → входит, так как знак "<= 0".
- На интервале \((1.6, +\infty)\): дробь положительна → не входит.
Также проверим точки:
- \(x = -6.2\): числитель равен 0 → дробь равна 0 → входит в решение.
- \(x = 1.6\): деление на 0 → точка разрыва, исключаем её.
Ответ:
\[ x \in [-6.2, 1.6) \]
2. Неравенство: \(\frac{(x + 13)(x + 2)}{x - 13} \geq 0\)
Шаг 1. Запишем неравенство:
\[ \frac{(x + 13)(x + 2)}{x - 13} \geq 0 \]
Шаг 2. Найдём нули числителя и знаменателя:
- \(x + 13 = 0 \Rightarrow x = -13\)
- \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)
- \(x - 13 = 0 \Rightarrow x = 13\)
Знаменатель не равен нулю при \(x \neq 13\).
Шаг 3. Построим числовую ось на значениях:
\[ -\infty \quad \text{--} \quad -13 \quad \text{--} \quad -2 \quad \text{--} \quad 13 \quad \text{--} \quad +\infty \]
Шаг 4. Определим знак выражения на интервалах.
Обозначим каждую точку как разделитель интервалов.
- Проверяем знак на интервалах:
\[ (-\infty, -13), \quad (-13, -2), \quad (-2, 13), \quad (13, +\infty) \]
- Для каждого интервала выбираем тестовое значение и считаем знак.
Пример:
\(x < -13\), например, \(x = -100\):
- \((x + 13) < 0\)
- \((x + 2) < 0\)
- \(x - 13 < 0\) (так как \(x < 13\))
- Знак числителя: отрицательное \(\times\) отрицательное = положительно.
- Знак делителя: отрицательное, потому что \(x < 13\)
- Совокупный знак: положительно / отрицательно = отрицательное → не входит.
\(x \in (-13, -2)\), например, \(x = -10\):
- \((x + 13) > 0\)
- \((x + 2) < 0\)
- \(x - 13 < 0\)
- Числитель: положительно \(\times\) отрицательное = отрицательное
- Знаменатель: отрицательное
- Отрицательное / отрицательное = положительно → входит, так как знак \(\geq 0\).
\(x \in (-2, 13)\), например, \(x=0\):
- \((x+13) > 0\)
- \((x+2) > 0\)
- \(x - 13<0\)
- Числитель: положительно \(\times\) положительно = положительно
- Знаменатель: отрицательное
- Итог: положительное / отрицательное = отрицательное → не входит.
\(x > 13\), например, \(x=20\):
- \((x+13) > 0\)
- \((x+2) > 0\)
- \(\text{знако делителя } > 0\)
- Итог: положительно / положительно = положительно → входит.
Шаг 5. Запишем решение, включая точки:
- Включаем точки, где числитель равен 0 (так как знак \(\geq 0\)):
\[ x = -13, \quad x= -2 \]
- Исключаем точку \(x=13\), так как деление на 0.
Итог:
\[ x \in [-13, -2] \cup (13, +\infty) \]
3. Неравенство: \(\frac{x + 7.2}{(8 - x)(x - 2)} \geq 0\)
Шаг 1. Запишем:
\[ \frac{x + 7.2}{(8 - x)(x - 2)} \geq 0 \]
Шаг 2. Найдём нули числителя и знаменателя:
- \(x + 7.2 = 0 \Rightarrow x = -7.2\)
- Знаменатель: \((8 - x)(x - 2) = 0\) при \(x=8\) или \(x=2\)
Обозначим опасные точки: \(x=-7.2\), \(x=2\), \(x=8\)
Шаг 3. Построим на оси:
\[ -\infty \quad \text{--} \quad -7.2 \quad \text{--} \quad 2 \quad \text{--} \quad 8 \quad \text{--} \quad +\infty \]
Шаг 4. Проводим тестирование знаков:
На каждом интервале выбираем точку и считаем знак.
Для \(x < -7.2\), например, \(-100\):
- числитель: отрицательно
- выражение в знаменателе: \((8 - x)\): при \(x=-100\), \(8 - (-100)=108>0\)
- \(x-2<0\)
- Знак знаменателя: \(\text{positive} \times \text{negative} = negative\)
Итог: числитель отрицателен, знаменатель отрицателен (произведение), деление отрицательное → не входит.
Между \(-7.2\) и \(2\), например, \(x=0\):
- числитель: положительно
- \(8 - 0=8>0\)
- \(0-2=-2<0\)
- Знак знаменателя: positive \(\times\) negative = negative
- Итог: positive / negative = negative → не входит
Между \(2\) и \(8\), например \(x=5\):
- числитель: положительно (\(5+7.2=12.2>0\))
- \(8 -5=3>0\)
- \(5-2=3>0\)
- Знак знаменателя: positive \(\times\) positive= positive
- Итог: positive / positive= positive → входит
После \(8\), например \(x=10\):
- числитель: положительно
- \(8 - 10 = -2<0\)
- \(10 - 2=8>0\)
- Знак знаменателя: negative \(\times\) positive= negative
- Итог: положительно / отрицательное= отрицательное → не входит
Шаг 5. Обнулим или исключим точки:
- \(x=-7.2\): числитель 0, дробь равна 0 → включаем,
- \(x=2\): деление на 0 → исключаем,
- \(x=8\): деление на 0 → исключаем.
Итог:
\[ x \in [-7.2, 2) \cup (8, +\infty) \]
Итоговые ответы:
\(\frac{x + 6.2}{x - 1.6} \leq 0 \implies x \in [-6.2, 1.6)\)
\(\frac{(x + 13)(x + 2)}{x - 13} \geq 0 \implies x \in [-13, -2] \cup (13, +\infty)\)
\(\frac{x + 7.2}{(8 - x)(x - 2)} \geq 0 \implies x \in [-7.2, 2) \cup (8, +\infty)\)
Если нужно более подробно по какому-то из шагов или есть вопросы, пишите!
