исследуйте с помощью производной функцию х³-3х²-9х
Давайте подробно исследуем функцию \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x \) с помощью производной. Цель — понять свойства функции, такие как экстремумы, точки роста и повороты графика.
Шаг 1: Найдём первую производную функции
Для начала найдём производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(9x) \]
Используем правила дифференцирования:
- \(\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}\)
- \(\frac{d}{dx}(ax) = a\)
Получим:
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 \]
Шаг 2: Исследуем производную на знаки
Для анализа экстремумов и монотонности ищем корни уравнения \( f'(x) = 0 \):
\[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \]
Можно сократить уравнение на 3:
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
Решим относительно \( x \) через дискриминант:
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \]
Получаем:
- \( x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)
- \( x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)
Шаг 3: Исследование знаков производной
Разделим числовую ось на интервал и проверим знак \( f'(x) \):
Для \( x < -1 \): подставим, например, \( x = -2 \)
\[ f'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 3 \cdot 4 + 12 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0 \]
Для \( -1 < x < 3 \): например, \( x=0 \)
\[ f'(0) = 0 - 0 - 9 = -9 < 0 \]
Для \( x > 3 \): например, \( x=4 \)
\[ f'(4) = 3 \cdot 16 - 6 \cdot 4 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0 \]
Значит:
- Функция возрастает на \(\left(-\infty, -1\right)\)
- убывает на \(\left(-1, 3\right)\)
- снова возрастает на \(\left(3, +\infty\right)\)
Шаг 4: Находим точки экстремума
Так как \( f'(x) \) меняет знак с "+" на "-", в точке \( x = -1 \), функция достигает максимума.
В точке \( x = 3 \), знак меняется с "-" на "+", значит — минимум.
Шаг 5: Находим значения функции в точках экстремума
Подставим эти корни в исходную функцию:
- В точке \( x = -1 \):
\[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5 \]
- В точке \( x = 3 \):
\[ f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 = 27 - 3 \cdot 9 - 27 = 27 - 27 - 27 = -27 \]
Итоговое исследование:
- Максимум в точке \((-1, 5)\)
- Минимум в точке \((3, -27)\)
- График функции возрастает при \( x < -1 \), уменьшается на интервале \((-1, 3)\), и снова возрастает при \( x > 3 \).
Если есть желание, я могу помочь построить график или найти дополнительные свойства.
