Исследуйте с помощью производной функцию х³-3х²-9х

Давайте подробно исследуем функцию \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x \) с помощью производной. Цель — понять свойства функции, такие как экстремумы, точки роста и повороты графика. --- ### Шаг 1: Найдём первую производную функции Для начала найдём производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(9x) \] Используем правила дифференцирования: - \(\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}\) - \(\frac{d}{dx}(ax) = a\) Получим: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 \] --- ### Шаг 2: Исследуем производную на знаки Для анализа экстремумов и монотонности ищем корни уравнения \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \] Можно сократить уравнение на 3: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Решим относительно \( x \) через дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] Получаем: - \( x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \) - \( x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \) --- ### Шаг 3: Исследование знаков производной Разделим числовую ось на интервал и проверим знак \( f'(x) \): - Для \( x < -1 \): подставим, например, \( x = -2 \) \[ f'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 3 \cdot 4 + 12 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0 \] - Для \( -1 < x < 3 \): например, \( x=0 \) \[ f'(0) = 0 - 0 - 9 = -9 < 0 \] - Для \( x > 3 \): например, \( x=4 \) \[ f'(4) = 3 \cdot 16 - 6 \cdot 4 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0 \] **Значит:** - Функция возрастает на \(\left(-\infty, -1\right)\) - убывает на \(\left(-1, 3\right)\) - снова возрастает на \(\left(3, +\infty\right)\) --- ### Шаг 4: Находим точки экстремума Так как \( f'(x) \) меняет знак с "+" на "-", в точке \( x = -1 \), функция достигает **максимума**. В точке \( x = 3 \), знак меняется с "-" на "+", значит — минимум. --- ### Шаг 5: Находим значения функции в точках экстремума Подставим эти корни в исходную функцию: - В точке \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5 \] - В точке \( x = 3 \): \[ f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 = 27 - 3 \cdot 9 - 27 = 27 - 27 - 27 = -27 \] --- ### Итоговое исследование: - **Максимум** в точке \((-1, 5)\) - **Минимум** в точке \((3, -27)\) - График функции возрастает при \( x < -1 \), уменьшается на интервале \((-1, 3)\), и снова возрастает при \( x > 3 \). --- Если есть желание, я могу помочь построить график или найти дополнительные свойства.