Номер 5

Рассмотрим задачу.

На рисунке изображён треугольник, у которого даны некоторые углы и биссектрисы, а нужно найти угол \( \angle ACB \).

Дано:

• \( \angle ALC = 78^\circ \) (угол между биссектрисой \( AL \) и стороной \( BC \)),
• \( \angle ABC = 52^\circ \),
• нужно найти \( \angle ACB \).

Обозначим:

• \( \angle BAC = \alpha \),
• \( \angle ABC = 52^\circ \),
• \( \angle ACB = \beta \).

Также, в треугольнике сумма углов равна 180°: \[ \alpha + 52^\circ + \beta = 180^\circ. \]

Рассмотрим биссектор \( AL \), которая делит угол \( \angle A \). Так как \( AL \) — биссектриса, она делит угол \( \angle BAC \) на два равных угла.

Из свойств биссектрисы, делящей угол \( \angle A \), известно, что она делит сторону \( BC \) в отношении, равном сторонам \( AB \) и \( AC \), или, что внутри треугольника, при использовании угловых свойств, можно найти следующие соотношения.

Пусть точка \( L \) — точка пересечения биссектрисы \( AL \) со стороной \( BC \). Тогда известно: \[ \frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC}. \]

Теперь, чтобы связать угол \( \angle ALC \) и известные параметры, обратимся к свойствам углов при биекциях и к теоремам о внешних и внутренних углах.

Дано, что \( \angle ALC = 78^\circ \). Ведь это угол, образованный биссектрисой и стороной \( BC \).

Угол между биссектрисой и стороной — это внешний или внутренний угол, связанный с треугольником.

Зная, что \( \angle ABC = 52^\circ \), и имея \( \angle ALC \) — угол между биссектрисой и стороной \( BC \), можно сделать вывод, что:

\[ \angle ALC = \frac{1}{2} (\angle ABC + \angle ACB). \]

Это — важный факт: угол между биссектрисой и стороной в треугольнике равен половине суммы прилегающих углов.

Подставляем: \[ 78^\circ = \frac{1}{2} (52^\circ + \beta). \]

Перепишем: \[ 2 \times 78^\circ = 52^\circ + \beta, \] \[ 156^\circ = 52^\circ + \beta, \] \[ \beta = 156^\circ - 52^\circ = 104^\circ. \]

Ответ:
\( \angle ACB = 104^\circ \).