Номер 5

Рассмотрим задачу. На рисунке изображён треугольник, у которого даны некоторые углы и биссектрисы, а нужно найти угол \( \angle ACB \). Дано: - \( \angle ALC = 78^\circ \) (угол между биссектрисой \( AL \) и стороной \( BC \)), - \( \angle ABC = 52^\circ \), - нужно найти \( \angle ACB \). Обозначим: - \( \angle BAC = \alpha \), - \( \angle ABC = 52^\circ \), - \( \angle ACB = \beta \). Также, в треугольнике сумма углов равна 180°: \[ \alpha + 52^\circ + \beta = 180^\circ. \] Рассмотрим биссектор \( AL \), которая делит угол \( \angle A \). Так как \( AL \) — биссектриса, она делит угол \( \angle BAC \) на два равных угла. Из свойств биссектрисы, делящей угол \( \angle A \), известно, что она делит сторону \( BC \) в отношении, равном сторонам \( AB \) и \( AC \), или, что внутри треугольника, при использовании угловых свойств, можно найти следующие соотношения. Пусть точка \( L \) — точка пересечения биссектрисы \( AL \) со стороной \( BC \). Тогда известно: \[ \frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC}. \] Теперь, чтобы связать угол \( \angle ALC \) и известные параметры, обратимся к свойствам углов при биекциях и к теоремам о внешних и внутренних углах. Дано, что \( \angle ALC = 78^\circ \). Ведь это угол, образованный биссектрисой и стороной \( BC \). Угол между биссектрисой и стороной — это внешний или внутренний угол, связанный с треугольником. Зная, что \( \angle ABC = 52^\circ \), и имея \( \angle ALC \) — угол между биссектрисой и стороной \( BC \), можно сделать вывод, что: \[ \angle ALC = \frac{1}{2} (\angle ABC + \angle ACB). \] Это — важный факт: угол между биссектрисой и стороной в треугольнике равен половине суммы прилегающих углов. Подставляем: \[ 78^\circ = \frac{1}{2} (52^\circ + \beta). \] Перепишем: \[ 2 \times 78^\circ = 52^\circ + \beta, \] \[ 156^\circ = 52^\circ + \beta, \] \[ \beta = 156^\circ - 52^\circ = 104^\circ. \] Ответ: **\( \angle ACB = 104^\circ \).**