Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна 0,2. Какова вероятность того, что стрелку потребуется не больше четырёх…

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Дано:

• Вероятность попасть при каждом выстреле: \( p = 0,2 \)
• Требуется определить вероятность, что стрелка сделает не более 4 выстрелов, то есть попадет либо с первого, либо со второго, либо с третьего, либо с четвертого выстрела.

Что нужно найти:

• Вероятность того, что первым попаданием стрелок достигнет цели не позже 4-го выстрела.

Решение:

Здесь удобно использовать понятие вероятности "успеха" в серии независимых испытаний.

Вероятность, что стреляет и попадает на i-ом выстреле:

• Стреляет впервые и попадает именно на i-ом выстреле:
  \[ P(\text{первый успех на выстреле } i) = (1-p)^{i-1} \times p \] — потому что сначала все предыдущие \((i-1)\) выстрелов были промахами, а на i-ом — успех.

Вероятность, что стрелка попадет в течение первых 4 выстрелов:

Это сумма вероятностей успеха на 1-й, 2-й, 3-й и 4-й попытках:

\[ P(\leq 4) = P(\text{успех на 1-м}) + P(\text{успех на 2-м}) + P(\text{успех на 3-м}) + P(\text{успех на 4-м}) \]

Подставляем формулу:

\[ P(\leq 4) = p + (1-p)p + (1-p)^2 p + (1-p)^3 p \]

Подстановка числовых значений:

\[ p = 0,2 \]

Тогда:

\[ P(\leq 4) = 0,2 + (1 - 0,2) \times 0,2 + (1 - 0,2)^2 \times 0,2 + (1 - 0,2)^3 \times 0,2 \]

Рассчитаем по шагам:

• \( 1 - 0,2 = 0,8 \)

Теперь по отдельности:

1. \( 0,2 \)
2. \( 0,8 \times 0,2 = 0,16 \)
3. \( 0,8^2 \times 0,2 = 0,64 \times 0,2 = 0,128 \)
4. \( 0,8^3 \times 0,2 = 0,512 \times 0,2 = 0,1024 \)

Складываем:

\[ P(\leq 4) = 0,2 + 0,16 + 0,128 + 0,1024 = 0,5904 \]

Итог:

Вероятность того, что стрелку потребуется не более четырех выстрелов, составляет 0,5904.

Округляем до сотых: 0,59.

Ответ:

Вероятность ≈ 0,59