Сумма цифр двузначного числа равна 9. При перестановке цифр получается 5/6 от первоначального. Найти это двузначное число.

Давайте разберём задачу пошагово и подробно.

Задача:
Нам дано двузначное число, сумма цифр которого равна 9. При перестановке этих цифр получается новое число, которое составляет 5/6 от исходного числа. Нужно найти исходное число.

Обозначим:

• первую цифру числа — \( x \) (десятки)
• вторую цифру — \( y \) (единицы)

Тогда исходное число: \[ N = 10x + y \]

Так как число двузначное, то \( x \) — цифра от 1 до 9, а \( y \) — цифра от 0 до 9.

Поскольку сумма цифр равна 9, имеем:
\[ x + y = 9 \quad (1) \]

Перестановка цифр:
При перестановке цифр получается число:
\[ M = 10y + x \]

Условие, что перестановка равна \(\frac{5}{6}\) от исходного числа:
\[ M = \frac{5}{6} N \]

Подставим значения:
\[ 10y + x = \frac{5}{6}(10x + y) \]

Рассмотрим это уравнение подробнее.

Дальнейшее решение:

1. Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дроби:
   \[ 6(10y + x) = 5(10x + y) \]

2. Раскроем скобки:
   \[ 60y + 6x = 50x + 5y \]

3. Перенесем все члены в одну сторону:
   \[ 60y - 5y = 50x - 6x \]

4. Упростим:
   \[ 55y = 44x \]

5. Сократим обе части на 11:
   \[ 5y = 4x \]

6. Или:
   \[ 5y = 4x \Rightarrow y = \frac{4x}{5} \]

График возможных решений:
Поскольку \( y \) — цифра от 0 до 9, а \( x \) — цифра от 1 до 9, нужно найти целые значения \( x \), для которых \( y \) также — целое число.

Для этого рассмотри выражение:
\[ y = \frac{4x}{5} \]

Чтобы \( y \) было целым числом, \( 4x \) должно делиться на 5.

Но \( 4x \) делится на 5, если \( x \) делится на 5 (поскольку 4 и 5 — взаимно простые числа, деление на 5 возможно только если \( x \) делится на 5).

Диапазон \( x \) — от 1 до 9, и единственное значение, кратное 5 — это \( x = 5 \).

Подставим \( x=5 \):
\[ y = \frac{4 \times 5}{5} = 4 \]

Проверим сумму цифр:
\[ x + y = 5 + 4 = 9 \]
Это соответствует условию.

Проверим число:
Исходное число: \( N = 10 \times 5 + 4 = 54 \)

Перестановка цифр: \[ M = 10 \times 4 + 5 = 45 \]

Проверим условие:
\[ M \stackrel{?}{=} \frac{5}{6} \times N \]

Вычислим правую часть:
\[ \frac{5}{6} \times 54 = 45 \]

Совпадает с перестановкой.
Значит, число — 54.

Итог:

Ответ: двузначное число — 54.