Сумма цифр двузначного числа равна 9. При перестановке цифр получается 5/6 от первоначального. Найти это двузначное число.

Давайте разберём задачу пошагово и подробно. Задача: Нам дано двузначное число, сумма цифр которого равна 9. При перестановке этих цифр получается новое число, которое составляет 5/6 от исходного числа. Нужно найти исходное число. Обозначим: - первую цифру числа — \( x \) (десятки) - вторую цифру — \( y \) (единицы) Тогда исходное число: \[ N = 10x + y \] Так как число двузначное, то \( x \) — цифра от 1 до 9, а \( y \) — цифра от 0 до 9. Поскольку сумма цифр равна 9, имеем: \[ x + y = 9 \quad (1) \] --- **Перестановка цифр:** При перестановке цифр получается число: \[ M = 10y + x \] --- **Условие, что перестановка равна \(\frac{5}{6}\) от исходного числа:** \[ M = \frac{5}{6} N \] Подставим значения: \[ 10y + x = \frac{5}{6}(10x + y) \] Рассмотрим это уравнение подробнее. --- **Дальнейшее решение:** 1. Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дроби: \[ 6(10y + x) = 5(10x + y) \] 2. Раскроем скобки: \[ 60y + 6x = 50x + 5y \] 3. Перенесем все члены в одну сторону: \[ 60y - 5y = 50x - 6x \] 4. Упростим: \[ 55y = 44x \] 5. Сократим обе части на 11: \[ 5y = 4x \] 6. Или: \[ 5y = 4x \Rightarrow y = \frac{4x}{5} \] --- **График возможных решений:** Поскольку \( y \) — цифра от 0 до 9, а \( x \) — цифра от 1 до 9, нужно найти целые значения \( x \), для которых \( y \) также — целое число. Для этого рассмотри выражение: \[ y = \frac{4x}{5} \] Чтобы \( y \) было целым числом, \( 4x \) должно делиться на 5. Но \( 4x \) делится на 5, если \( x \) делится на 5 (поскольку 4 и 5 — взаимно простые числа, деление на 5 возможно только если \( x \) делится на 5). Диапазон \( x \) — от 1 до 9, и единственное значение, кратное 5 — это \( x = 5 \). Подставим \( x=5 \): \[ y = \frac{4 \times 5}{5} = 4 \] Проверим сумму цифр: \[ x + y = 5 + 4 = 9 \] Это соответствует условию. --- **Проверим число:** Исходное число: \( N = 10 \times 5 + 4 = 54 \) Перестановка цифр: \[ M = 10 \times 4 + 5 = 45 \] Проверим условие: \[ M \stackrel{?}{=} \frac{5}{6} \times N \] Вычислим правую часть: \[ \frac{5}{6} \times 54 = 45 \] Совпадает с перестановкой. Значит, число — **54**. --- ## Итог: **Ответ: двузначное число — 54.**