Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 20 см и образует с высотой пирамиды угол 45°

Рассмотрим задачу: нужно найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно 20 см, а оно образует с высотой пирамиды угол 45°.

Обозначим:

• \( AB \) — боковое ребро, равное 20 см.
• \( H \) — высота пирамиды.
• \( \alpha = 45^\circ \) — угол между боковым ребром и высотой.

Шаг 1. Определение связи между боковым ребром и высотой.

В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро соединяет вершину \( S \) с вершиной основания, скажем, с одной из вершин основания, например, с \( A \).

На рисунке это так:

      S
      /|\
     / | \
    /  |  \
   /___|___\
  A    B    C...

Поскольку основание правильная квадратная, центр основания \( O \) — точка пересечения диагоналей.

Шаг 2. Определение элементов основания.

Длина стороны квадрата \( a \). Центр основания \( O \), расстояние от центра до любой вершины (например, до \( A \)) равно \( \frac{a}{\sqrt{2}} \).

Высота \( H \) — перпендикуляр, опущенный из вершины \( S \) на плоскость основания, через точку \( O \).

Шаг 3. Анализ бокового ребра и угла.

Боковое ребро \( SA \). Оно образует с высотой \( SO \) угол \( 45^\circ \).

Рассмотрим треугольник \( S A O \):

• \( S A = 20 \) см — боковое ребро.
• \( S O = H \) — высота (расстояние по перпендикуляру от вершины \( S \) до плоскости основания).
• \( A O = \frac{a}{\sqrt{2}} \).

Угол между \( S A \) и \( S O \) равен \( 45^\circ \).

Шаг 4. Используем тригонометрию.

В треугольнике \( S A O \):

\[ \cos 45^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\Hypotenus } = \frac{S O}{S A} = \frac{H}{20}. \]

Значение \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Тогда:

\[ \frac{H}{20} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow H = 20 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \sqrt{2} \text{ см}. \]

Первое важное решение:

\[ H = 10 \sqrt{2} \text{ см}. \]

---

Шаг 5. Связь между стороной квадрата и длиной бокового ребра.

Рассмотрим треугольник \( S A O \) более подробно.

• \( S A = 20 \) см — боковое ребро.
• \( S O = H = 10 \sqrt{2} \).
• \( A O = \frac{a}{\sqrt{2}} \).

Также в треугольнике \( S A O \):

\[ S A^2 = S O^2 + A O^2, \] так как угол \( S A O \) — прямой (по определению высоты и бокового ребра).

Подставим значения:

\[ 20^2 = (10 \sqrt{2})^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2. \]

Посчитаем:

\[ 400 = (10 \sqrt{2})^2 + \frac{a^2}{2}. \]

Вычислим \( (10 \sqrt{2})^2 \):

\[ (10 \sqrt{2})^2 = 10^2 \times 2 = 100 \times 2 = 200. \]

Итак,

\[ 400 = 200 + \frac{a^2}{2} \Rightarrow 400 - 200 = \frac{a^2}{2} \Rightarrow 200 = \frac{a^2}{2}. \]

Отсюда:

\[ a^2 = 400 \Rightarrow a = \sqrt{400} = 20 \text{ см}. \]

Итог:

Длина стороны основания \( a = 20 \) см.

---

Шаг 6. Вычисление объёма пирамиды.

Объём правильной квадратной пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \times \text{площадь основания} \times \text{высота}. \]

Площадь основания:

\[ S_{\text{осн}} = a^2 = 20^2 = 400 \text{ см}^2. \]

Высота:

\[ H = 10 \sqrt{2} \approx 10 \times 1.414 = 14.14 \text{ см}. \]

Объём:

\[ V = \frac{1}{3} \times 400 \times 14.14 \approx \frac{1}{3} \times 400 \times 14.14 \approx 133.33 \times 14.14 \approx 1884.8 \text{ см}^3. \]

---

Итоговый ответ:

Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен примерно 1885 см³.