Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 20 см и образует с высотой пирамиды угол 45°

Рассмотрим задачу: нужно найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно 20 см, а оно образует с высотой пирамиды угол 45°. Обозначим: - \( AB \) — боковое ребро, равное 20 см. - \( H \) — высота пирамиды. - \( \alpha = 45^\circ \) — угол между боковым ребром и высотой. Шаг 1. Определение связи между боковым ребром и высотой. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро соединяет вершину \( S \) с вершиной основания, скажем, с одной из вершин основания, например, с \( A \). На рисунке это так: ``` S /|\ / | \ / | \ /___|___\ A B C... ``` Поскольку основание правильная квадратная, центр основания \( O \) — точка пересечения диагоналей. Шаг 2. Определение элементов основания. Длина стороны квадрата \( a \). Центр основания \( O \), расстояние от центра до любой вершины (например, до \( A \)) равно \( \frac{a}{\sqrt{2}} \). Высота \( H \) — перпендикуляр, опущенный из вершины \( S \) на плоскость основания, через точку \( O \). Шаг 3. Анализ бокового ребра и угла. Боковое ребро \( SA \). Оно образует с высотой \( SO \) угол \( 45^\circ \). Рассмотрим треугольник \( S A O \): - \( S A = 20 \) см — боковое ребро. - \( S O = H \) — высота (расстояние по перпендикуляру от вершины \( S \) до плоскости основания). - \( A O = \frac{a}{\sqrt{2}} \). Угол между \( S A \) и \( S O \) равен \( 45^\circ \). Шаг 4. Используем тригонометрию. В треугольнике \( S A O \): \[ \cos 45^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\Hypotenus } = \frac{S O}{S A} = \frac{H}{20}. \] Значение \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Тогда: \[ \frac{H}{20} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow H = 20 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \sqrt{2} \text{ см}. \] ### Первое важное решение: \[ H = 10 \sqrt{2} \text{ см}. \] --- **Шаг 5. Связь между стороной квадрата и длиной бокового ребра.** Рассмотрим треугольник \( S A O \) более подробно. - \( S A = 20 \) см — боковое ребро. - \( S O = H = 10 \sqrt{2} \). - \( A O = \frac{a}{\sqrt{2}} \). Также в треугольнике \( S A O \): \[ S A^2 = S O^2 + A O^2, \] так как угол \( S A O \) — прямой (по определению высоты и бокового ребра). Подставим значения: \[ 20^2 = (10 \sqrt{2})^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2. \] Посчитаем: \[ 400 = (10 \sqrt{2})^2 + \frac{a^2}{2}. \] Вычислим \( (10 \sqrt{2})^2 \): \[ (10 \sqrt{2})^2 = 10^2 \times 2 = 100 \times 2 = 200. \] Итак, \[ 400 = 200 + \frac{a^2}{2} \Rightarrow 400 - 200 = \frac{a^2}{2} \Rightarrow 200 = \frac{a^2}{2}. \] Отсюда: \[ a^2 = 400 \Rightarrow a = \sqrt{400} = 20 \text{ см}. \] ### Итог: Длина стороны основания \( a = 20 \) см. --- **Шаг 6. Вычисление объёма пирамиды.** Объём правильной квадратной пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{площадь основания} \times \text{высота}. \] Площадь основания: \[ S_{\text{осн}} = a^2 = 20^2 = 400 \text{ см}^2. \] Высота: \[ H = 10 \sqrt{2} \approx 10 \times 1.414 = 14.14 \text{ см}. \] Объём: \[ V = \frac{1}{3} \times 400 \times 14.14 \approx \frac{1}{3} \times 400 \times 14.14 \approx 133.33 \times 14.14 \approx 1884.8 \text{ см}^3. \] --- ### Итоговый ответ: Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен примерно **1885 см³**.