Докажите что можно описать окружности около любого прямоугольник около любой равнобедпенной трапеции

Давайте разберем задачу по шагам и докажем, что вокруг любого прямоугольника можно описать окружность, и что около любой равнобедренной трапеции также можно описать окружность. --- ### 1. Описывать окружность вокруг прямоугольника **Теорема:** Вписать окружность в четырехугольник можно тогда и только тогда, когда сумма длин противоположных сторон равна. **Но** для прямоугольника это условие выполняется автоматически, потому что: - Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы равны 90 градусов. - Противоположные стороны равны по длине, а значит: \[ AB = CD,\quad BC = DA \] - Сумма противоположных сторон при этом равна: \[ AB + CD = AB + AB = 2 \times AB \] и \[ BC + DA = BC + BC = 2 \times BC \] оконечность условия равенства не обязательно — важное условие — сумму противоположных сторон равны. **Но** важно вспомнить, что: > Вписать окружность в четырехугольник возможно тогда, когда он **вписываем** — то есть есть окружность, касающаяся всех сторон. **Теорема:** Вписываемый четырехугольник равен **трапеции**, у которой сумма боковых сторон равна сумме оснований. Для прямоугольника: - Вписать окружность возможно, если он является **cyclic** (описанным четырехугольником), а для этого, например, вдоль середины вставляется диаметр окружности—но что важнее — **прямоугольник всегда является вписанным в окружность**. **Фактическое доказательство:** - В прямоугольнике все углы 90°, и если нарисовать вокруг него окружность, то она пройдет через все четыре вершина. - Это потому что все вершины прямоугольника лежат на одной окружности — так как в любом прямоугольнике сумма противоположных углов равна 180°, а это необходимо и достаточно, чтобы четырехугольник был **циркулянтным** (вписанным). **Вывод:** > **Графически и по определению, любой прямоугольник можно описать окружностью, то есть он — цилкульный четырехугольник.** --- ### 2. Описывать окружность вокруг равнобедренной трапеции **Теорема:** В равнобедренной трапеции есть условие, при котором она вписывается в окружность. Распишем: - Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны. - Для существования окружности, вписанной в трапецию (то есть касающейся всех ее сторон), трапеция должна быть **циклой** — ее вершины должны лежать на одной окружности. **Условие:** - Вписанный четырехугольник — это **циклический**. - Для трапеции, чтобы она была циклической, необходимо и достаточно, чтобы сумма оснований равна сумме боковых сторон: \[ AB + DC = AD + BC \] где: - \(AB\) и \(DC\) — основания (верхнее и нижнее), - \(AD\) и \(BC\) — боковые стороны. **Для равнобедренной трапеции:** - боковые стороны \(AD = BC\), - тогда условие для вписываемости: \[ AB + DC = 2 \times AD \] **Обратное:** - При выполнении этого условия, равнобедренная трапеция является циклической, и вокруг нее можно описать окружность. --- ### **Итог:** - **Окружность можно описать около любого прямоугольника**, потому что любой прямоугольник — вписанный четырехугольник (циклой). - **Окружность можно описать около любой равнобедренной трапеции**, так как если сумма оснований равна удвоенному боковому отрезку, она является циклическим четырехугольником (вписываемой окружностью). --- Если нужно, я могу дополнительно провести примеры или разобрать конкретные случаи!