sin^6x+cos^6x=1/4
Рассмотрим задачу:
\[
\sin^6 x + \cos^6 x = \frac{1}{4}
\]
Наша цель — понять, при каких значениях \(x\) выполняется данное равенство.
Шаг 1: упростим выражение \(\sin^6 x + \cos^6 x\)
Обратим внимание, что это сумма степеней, и попробуем использовать алгебраические тождества.
Запишем:
\[
a = \sin^2 x, \quad b = \cos^2 x
\]
Тогда:
\[
\sin^6 x + \cos^6 x = a^3 + b^3
\]
Известно, что для любых чисел \(a\) и \(b\): \[ a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) \]
Зная, что \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), получаем: \[ a + b = 1 \]
Подставляем в выражение: \[ a^3 + b^3 = (1)^3 - 3ab \cdot 1 = 1 - 3ab \]
Итак,
\[
\sin^6 x + \cos^6 x = 1 - 3ab
\]
где
\[
ab = \sin^2 x \cos^2 x
\]
Шаг 2: выразим \(\sin^2 x \cos^2 x\)
Известно тождество: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x \]
Следовательно: \[ \sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4} \]
Подставим это в выражение для \(\sin^6 x + \cos^6 x\): \[ \sin^6 x + \cos^6 x = 1 - 3 \cdot \frac{\sin^2 2x}{4} = 1 - \frac{3}{4} \sin^2 2x \]
Шаг 3: Решим уравнение
Дано: \[ \sin^6 x + \cos^6 x = \frac{1}{4} \]
Подставляем полученное выражение: \[ 1 - \frac{3}{4} \sin^2 2x = \frac{1}{4} \]
Переносим всё в одну сторону: \[ 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \sin^2 2x \]
Вычитаем: \[ \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \sin^2 2x \]
Делим обе части на \(\frac{3}{4}\): \[ 1 = \sin^2 2x \]
Шаг 4: находим \(\sin 2x\)
\[ \sin^2 2x = 1 \Rightarrow \sin 2x = \pm 1 \]
Это означает:
- \(\sin 2x = 1 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\)
- \(\sin 2x = -1 \Rightarrow 2x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\)
где \(k \in \mathbb{Z}\) — целое число.
Итоговые решения:
\[ \boxed{ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} } \]
Это — все значения \(x\), при которых исходное равенство выполняется.
Если есть желание, я могу помочь с уточнением или построением графика.
