Sin^6x+cos^6x=1/4

Рассмотрим задачу: \[ \sin^6 x + \cos^6 x = \frac{1}{4} \] Наша цель — понять, при каких значениях \(x\) выполняется данное равенство. --- ### Шаг 1: упростим выражение \(\sin^6 x + \cos^6 x\) Обратим внимание, что это сумма степеней, и попробуем использовать алгебраические тождества. Запишем: \[ a = \sin^2 x, \quad b = \cos^2 x \] Тогда: \[ \sin^6 x + \cos^6 x = a^3 + b^3 \] Известно, что для любых чисел \(a\) и \(b\): \[ a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) \] Зная, что \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), получаем: \[ a + b = 1 \] Подставляем в выражение: \[ a^3 + b^3 = (1)^3 - 3ab \cdot 1 = 1 - 3ab \] Итак, \[ \sin^6 x + \cos^6 x = 1 - 3ab \] где \[ ab = \sin^2 x \cos^2 x \] --- ### Шаг 2: выразим \(\sin^2 x \cos^2 x\) Известно тождество: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x \] Следовательно: \[ \sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4} \] Подставим это в выражение для \(\sin^6 x + \cos^6 x\): \[ \sin^6 x + \cos^6 x = 1 - 3 \cdot \frac{\sin^2 2x}{4} = 1 - \frac{3}{4} \sin^2 2x \] --- ### Шаг 3: Решим уравнение Дано: \[ \sin^6 x + \cos^6 x = \frac{1}{4} \] Подставляем полученное выражение: \[ 1 - \frac{3}{4} \sin^2 2x = \frac{1}{4} \] Переносим всё в одну сторону: \[ 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \sin^2 2x \] Вычитаем: \[ \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \sin^2 2x \] Делим обе части на \(\frac{3}{4}\): \[ 1 = \sin^2 2x \] --- ### Шаг 4: находим \(\sin 2x\) \[ \sin^2 2x = 1 \Rightarrow \sin 2x = \pm 1 \] Это означает: - \(\sin 2x = 1 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) - \(\sin 2x = -1 \Rightarrow 2x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\) где \(k \in \mathbb{Z}\) — целое число. --- ### Итоговые решения: \[ \boxed{ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} } \] Это — все значения \(x\), при которых исходное равенство выполняется. --- Если есть желание, я могу помочь с уточнением или построением графика.