Решить

Для решения задачи необходимо понять взаимосвязь между диагоналями прямоугольника, его сторонами и углами, которые они образуют.

Дано:

• Диагональ прямоугольника образует с одной из сторон угол в 42°.
• Нужно найти острый угол между диагоналями.

Общий подход:

1. Пусть у нас есть прямоугольник с сторонами \(a\) и \(b\).
2. Диагональ \(d\) при этом равна \(\sqrt{a^2 + b^2}\).
3. Диагональ образует с одной стороной угол в 42°, значит, в треугольнике, образованном стороной и диагональю, косинус этого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Рассмотрим, что угол между диагональю и стороной равен 42°, и найдем угол между диагоналями.

Шаг 1: Определение диагональной компоненты

Пусть, например, диагональ \(d\) образует с стороной \(a\) угол в 42°. Тогда: \[ \cos 42° = \frac{a}{d} \] Отсюда слышим, что мы можем выразить диагональ через сторону: \[ d = \frac{a}{\cos 42°} \]

Шаг 2: Углы между диагоналями

Диагональ в прямоугольнике пересекаются и делят его на четыре равных треугольника. В самом деле, в прямоугольнике диагонали пересекаются и делятся пополам.

Важно: угол между диагоналями равен удвоенному углу между диагональю и стороной (поскольку они являются биссектрисами в четырехугольнике).

Один из фактов:

• В прямоугольнике угол между диагональю и стороной равен 42°, тогда угол между диагоналями \(\theta\) равен:

\[ \theta = 2 \times 42° = 84° \]

Потому что диагонали при пересечении создают противоположные углы, и угол между ними равен удвоенному углу между диагональю и стороной.

Ответ:

Острый угол между диагоналями прямоугольника равен 84°.