Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с гипотенузой 12 см и острым углом 60°. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 10 см.
Давайте подробно решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Основание пирамиды — прямоугольный треугольник
- Гипотенуза (основания) = 12 см
- Острый угол у основания (по гипотенузе) = 60°
- Высота пирамиды (из вершины, перпендикулярно основанию) = 10 см
Нам нужно найти объём пирамиды.
Шаг 1. Определение сторон прямоугольного треугольника
Пусть:
- гипотенуза \( c = 12 \) см
- острый угол при одной из катетов \( \alpha = 60^\circ \)
Обозначим:
- катет, образующий угол 60°, как \( a \)
- другой катет как \( b \)
По свойствам прямоугольного треугольника: \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Также, учитывая, что угол 60° находится напротив катета \( a \):
\[ \sin 60° = \frac{\text{противолежащий катет}}{\гипотенуза} \Rightarrow \sin 60° = \frac{a}{c} \]
Подставляя: \[ a = c \times \sin 60^\circ \]
Значения: \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \]
Тогда: \[ a = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \text{ см} \]
Следовательно: \[ a \approx 6 \times 1.732 = 10.392 \text{ см} \]
Теперь, чтобы найти \( b \), используем косинус: \[ \cos 60^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\hypotenuse} = \frac{b}{c} \]
\[ b = c \times \cos 60^\circ = 12 \times \frac{1}{2} = 6 \text{ см} \]
Шаг 2. Площадь основания пирамиды
Основание — прямоугольный треугольник со сторонами \( a \) и \( b \):
\[ S_{основания} = \frac{1}{2} \times a \times b \]
Подставим значения:
\[ S_{основания} = \frac{1}{2} \times 10.392 \times 6 \approx \frac{1}{2} \times 62.352 = 31.176 \text{ см}^2 \]
Шаг 3. Объем пирамиды
Объем пирамиды вычисляется по формуле:
\[ V = \frac{1}{3} \times S_{основания} \times h \]
где \( h = 10 \) см — высота пирамиды
Подставим значения:
\[ V = \frac{1}{3} \times 31.176 \times 10 \approx \frac{1}{3} \times 311.76 \approx 103.92 \text{ см}^3 \]
Итог:
Ответ: Объем пирамиды приблизительно 103.92 см³.
Если нужно, могу округлить до более удобного числа — например, 104 см³.
