Давайте подробно решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Основание пирамиды — прямоугольный треугольник
- Гипотенуза (основания) = 12 см
- Острый угол у основания (по гипотенузе) = 60°
- Высота пирамиды (из вершины, перпендикулярно основанию) = 10 см
Нам нужно найти объём пирамиды.
Шаг 1. Определение сторон прямоугольного треугольника
Пусть:
- гипотенуза ( c = 12 ) см
- острый угол при одной из катетов ( \alpha = 60^\circ )
Обозначим:
- катет, образующий угол 60°, как ( a )
- другой катет как ( b )
По свойствам прямоугольного треугольника:
[
a^2 + b^2 = c^2
]
Также, учитывая, что угол 60° находится напротив катета ( a ):
[
\sin 60° = \frac{\text{противолежащий катет}}{\гипотенуза} \Rightarrow
\sin 60° = \frac{a}{c}
]
Подставляя:
[
a = c \times \sin 60^\circ
]
Значения:
[
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866
]
Тогда:
[
a = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \text{ см}
]
Следовательно:
[
a \approx 6 \times 1.732 = 10.392 \text{ см}
]
Теперь, чтобы найти ( b ), используем косинус:
[
\cos 60^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\hypotenuse} = \frac{b}{c}
]
[
b = c \times \cos 60^\circ = 12 \times \frac{1}{2} = 6 \text{ см}
]
Шаг 2. Площадь основания пирамиды
Основание — прямоугольный треугольник со сторонами ( a ) и ( b ):
[
S_{основания} = \frac{1}{2} \times a \times b
]
Подставим значения:
[
S_{основания} = \frac{1}{2} \times 10.392 \times 6 \approx \frac{1}{2} \times 62.352 = 31.176 \text{ см}^2
]
Шаг 3. Объем пирамиды
Объем пирамиды вычисляется по формуле:
[
V = \frac{1}{3} \times S_{основания} \times h
]
где ( h = 10 ) см — высота пирамиды
Подставим значения:
[
V = \frac{1}{3} \times 31.176 \times 10 \approx \frac{1}{3} \times 311.76 \approx 103.92 \text{ см}^3
]
Итог:
Ответ: Объем пирамиды приблизительно 103.92 см³.
Если нужно, могу округлить до более удобного числа — например, 104 см³.
