V 8. N - некоторое натуральное число. Найдите пары равносильных высказываний. А= «Число N четное» В = «Число N имеет вид 2к для некоторого натурального числа к» С = «Число N дает остаток2 при делении на 4» D = «Число N заканчивается на одну из цифр 0,2,4,6,8» Е = «Число N делится на 2, но не делится на

Рассмотрим каждое из высказываний и выясним, какие из них равносильны. Обозначения: - N — натуральное число - k — натуральное число (k ≥ 1) --- **А**: «Число N четное» Это значит, что число N делится на 2 без остатка: \[ N \equiv 0 \pmod{2} \] --- **В**: «Число N имеет вид 2^k для некоторого натурального числа k» То есть N — степень двойки: \[ N = 2^k, \quad k \ge 1 \] --- **С**: «Число N дает остаток 2 при делении на 4» Это значит: \[ N \equiv 2 \pmod{4} \] --- **D**: «Число N заканчивается на одну из цифр 0, 2, 4, 6, 8» Это стандартный признак четных чисел. Следовательно: N — четное число. --- **Е**: «Число N делится на 2, но не делится на __» Здесь, похоже, какая-то неполная фраза, но, исходя из контекста, предположим, что имеется в виду: «Число N делится на 2, но не делится на 4» или другая подобная ситуация. Но чтобы правильно интерпретировать, я предположу, что: **Е**: «Число N делится на 2, но не делится на 4» — так как это единственный логичный вариант, совпадающий с предыдущими. --- **Теперь проанализируем логические связи:** 1. **A** и **D** Оба указывают, что число N четное (A — «число четное», D — «оканчивается на четную цифру»). Следовательно: **A** ⇔ **D** — они равносильны. 2. Посмотрим **A** и **В** - В говорит, что N — степень двойки. - Степени двойки: 2, 4, 8, 16, 32, ... - Все степени двойки — четные, кроме 2^1=2 — также четное число. - Но не каждое четное число — это степень двойки. Например, 6 — четное, но не степень двойки. Поэтому: \[ \text{Если } N = 2^k, \text{ то } N \text{ четное} \] — A верно. Но обратное — из A, что число четное, не следует, что N — степень двойки. 3. **Только для N=2^k** — A тоже верно. 4. Анализируем **С** - N ≡ 2 mod 4 - Например: 2, 6, 10, 14, 18, ... - Все эти числа — четные, поскольку делятся на 2. - Но не все четные числа при делении на 4 дают остаток 2. - Например, число 4 делится на 4 без остатка, а 8 тоже, и т. д. - Следовательно, число N ≡ 2 mod 4 — это четное число, которое при делении на 4 дает остаток 2. - Это все числа вида 4k + 2. Итак, **С** — это подмножество четных чисел, которые дают остаток 2 при делении на 4. --- **Вывод:** - **A** и **D** — равносильны, так как оба утверждают, что число четное. - **B** — «N — степень двойки» — это указывает на очень особый подмножество четных чисел, таких числа N ≡ 2^k, где k ≥ 1. Но важно уточнить: "N — степень двойки" — это более строгое условие, чем просто "N — четное". Каждая степень двойки — четное число (кроме 2^1=2), и все числа вида 2^k с k ≥ 1 — это четные числа. - **С** — число N ≡ 2 mod 4. Некоторые числа, удовлетворяющие этому условию, тоже четные, и среди них есть, например, 6, 10, 14, которые не являются степенями двойки. --- **Подытожим:** - Вывод 1: **А** и **D** — равносильны. - Вывод 2: **В** — «N — степень двойки» — это строгое подмножество четных чисел, которые имеют вид 2^k (k≥1). Поэтому: - Если N — степень двойки, то N — четное (A и D — верны). - Не все четные числа — степени двойки — только числа вида 2^k. - Вывод 3: **С** — числа, дающие остаток 2 при делении на 4, — также четные, но не обязательно степени двойки. --- **Рассмотрим пары равносильных высказываний:** - **A** и **D**: равносильны, так как оба утверждают, что число четное. - **B** и **A** или **D**? — нет, потому что степени двойки — это особая часть четных чисел, в то время как все четные числа — это лишь часть. Следовательно, не все четные — степени двойки. - **C** и **A** или **D**? — нет, потому что числа, дающие остаток 2 при делении на 4, не обязательно являются степенями двойки или тем более не обязательно все четные (например, 6: 6 mod 4 = 2, но не степень двойки). Они тоже — подмножество четных чисел. --- **Итак, основные равносильные пары:** 1. **A** и **D** — оба указывают, что число четное, и они равносильны. --- **Ответ:** Наиболее точный вывод: - **Пара равносильных высказываний:** \(\boxed{\text{А} \text{ и } \text{D}}\) — «Число N чётное» и «Число N заканчивается на чётную цифру» — оба утверждают одно и то же. --- Если потребуется, могу дополнительно разобрать остальные связи или дать более подробное объяснение.