1Понятие о законе больших чисел 23/27 Условие задания: 2 Б. Кристина увлеклась алмазной вышивкой. Количество стразов, которое девочка приклеила за первые полчаса работы, равно…

Давайте решим задачу по шагам, чтобы понять, как найти вероятность того, что Кристина за следующие 30 минут приклеит не больше 375 стразов.

Дано:

• За первые 30 минут она приклеила 285 стразов.
• Требуется найти вероятность, что за следующие 30 минут она приклеит не более 375 стразов.

Шаг 1. Построение модели

Задача связана с процессом появления случайных событий — приклеивания стразов. Это можно моделировать с помощью пуассона, так как:

• события (приклеивание стразов) случаются независимо,
• среднее число событий за промежуток времени линейно зависит от этого времени,
• число событий за равные интервалы времени имеет распределение Пуассона.

Обозначим:

• \( \lambda \) — среднее число стразов, приклеиваемых за 30 минут.

Шаг 2. Найти среднее число за 30 минут ( \( \lambda \) )

На основе данных за первые 30 минут: \[ \text{за 30 минут} \quad= 285 \quad \Rightarrow \quad \lambda \approx 285 \]

Это — среднее число стразов за 30 минут.

Шаг 3. Наша задача

Нам нужно найти вероятность, что за следующие 30 минут приклеится не более 375 стразов.

Обозначим:

• \( X \) — число стразов, приклеенных за следующие 30 минут.
• Тогда \( X \sim \text{Poisson}(\lambda) \), где \( \lambda = 285 \).

Искомая вероятность: \[ P(X \leq 375) \]

Шаг 4. Использование приближения Пуассона нормальным распределением (по закону больших чисел)

Поскольку \( \lambda = 285 \) и \( 375 \) — это довольно большие числа, можно воспользоваться нормальной аппроксимацией Пуассона: \[ X \sim \text{Poisson}(\lambda) \approx N(\mu, \sigma^2) \] где: \[ \mu = \lambda = 285 \] \[ \sigma = \sqrt{\lambda} = \sqrt{285} \approx 16.88 \]

Шаг 5. Нормализация вероятности

Чтобы найти \( P(X \leq 375) \) примерно:

\[ P(X \leq 375) \approx P\bigg( Z \leq \frac{375 + 0.5 - \mu}{\sigma} \bigg) \] где 0.5 — коррекция с continuity correction (коррекция непрерывной переменной).

Подставим значения: \[ Z = \frac{375 + 0.5 - 285}{16.88} = \frac{90.5}{16.88} \approx 5.36 \]

Шаг 6. Поиск вероятности по стандартному нормальному распределению

Значение \( Z \approx 5.36 \) очень большое. В стандартной нормальной таблице вероятность: \[ P(Z \leq 5.36) \approx 1 \] так как это очень высокая граница.

Следовательно: \[ \boxed{ P(X \leq 375) \approx 1.00 } \]

Итог

Вероятность, что за следующие 30 минутКристина приклеит не больше 375 стразов, очень близка к 1.00 (или 100%).

Ответ: 0.99 (округлили до сотых, так как вероятность очень высокая).

Если есть дополнительные вопросы, можно их задать!