Давайте решим задачу по шагам, чтобы понять, как найти вероятность того, что Кристина за следующие 30 минут приклеит не больше 375 стразов.
Дано:
- За первые 30 минут она приклеила 285 стразов.
- Требуется найти вероятность, что за следующие 30 минут она приклеит не более 375 стразов.
Шаг 1. Построение модели
Задача связана с процессом появления случайных событий — приклеивания стразов. Это можно моделировать с помощью пуассона, так как:
- события (приклеивание стразов) случаются независимо,
- среднее число событий за промежуток времени линейно зависит от этого времени,
- число событий за равные интервалы времени имеет распределение Пуассона.
Обозначим:
- ( \lambda ) — среднее число стразов, приклеиваемых за 30 минут.
Шаг 2. Найти среднее число за 30 минут ( ( \lambda ) )
На основе данных за первые 30 минут:
[
\text{за 30 минут} \quad= 285 \quad \Rightarrow \quad \lambda \approx 285
]
Это — среднее число стразов за 30 минут.
Шаг 3. Наша задача
Нам нужно найти вероятность, что за следующие 30 минут приклеится не более 375 стразов.
Обозначим:
- ( X ) — число стразов, приклеенных за следующие 30 минут.
- Тогда ( X \sim \text{Poisson}(\lambda) ), где ( \lambda = 285 ).
Искомая вероятность:
[
P(X \leq 375)
]
Шаг 4. Использование приближения Пуассона нормальным распределением (по закону больших чисел)
Поскольку ( \lambda = 285 ) и ( 375 ) — это довольно большие числа, можно воспользоваться нормальной аппроксимацией Пуассона:
[
X \sim \text{Poisson}(\lambda) \approx N(\mu, \sigma^2)
]
где:
[
\mu = \lambda = 285
]
[
\sigma = \sqrt{\lambda} = \sqrt{285} \approx 16.88
]
Шаг 5. Нормализация вероятности
Чтобы найти ( P(X \leq 375) ) примерно:
[
P(X \leq 375) \approx P\bigg( Z \leq \frac{375 + 0.5 - \mu}{\sigma} \bigg)
]
где 0.5 — коррекция с continuity correction (коррекция непрерывной переменной).
Подставим значения:
[
Z = \frac{375 + 0.5 - 285}{16.88} = \frac{90.5}{16.88} \approx 5.36
]
Шаг 6. Поиск вероятности по стандартному нормальному распределению
Значение ( Z \approx 5.36 ) очень большое. В стандартной нормальной таблице вероятность:
[
P(Z \leq 5.36) \approx 1
]
так как это очень высокая граница.
Следовательно:
[
\boxed{
P(X \leq 375) \approx 1.00
}
]
Итог
Вероятность, что за следующие 30 минутКристина приклеит не больше 375 стразов, очень близка к 1.00 (или 100%).
Ответ: 0.99 (округлили до сотых, так как вероятность очень высокая).
Если есть дополнительные вопросы, можно их задать!
