Найди площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, если её диагональ равна 8 и образует с плоскостью основания угол 60 °
Давайте разберём задачу по этапам, чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы.
Дано:
- Диагональ призмы \( d = 8 \)
- Диагональ образует с плоскостью основания угол \( \alpha = 60^\circ \)
Требуется найти площадь боковой поверхности \( S_{бок} \).
Шаг 1: Визуализация и обозначения
Обозначим:
- Основание — квадрат со стороной \( a \).
- Высота призмы — \( h \).
Поскольку призма правильная, основания — равные квадраты, и боковые грани — параллелограммы.
Шаг 2: Связь между диагональю призмы и её элементами
Диагональ призмы — это отрезок, соединяющий противоположные вершины верхнего и нижнего основания.
У правильной призмы:
- Диагональ основания: квадрат со стороной \( a \), её диагональ: \[ d_{осн} = a \sqrt{2} \]
- Диагональ призмы вся — соединяет вершины, находящиеся напротив друг друга, образуя диагональ тетраэдра, потому что призма "наклонена".
Это значит, что диагональ призмы образует с основанием угол \( 60^\circ \), связанный с её пространственной ориентацией.
Шаг 3: Расчёт боковой высоты и её связи с диагональю
Рассмотрим прямую, по которой расположена диагональ:
- В пространстве диагональ призмы соединяет вершины, расположенные на верхнем и нижнем основаниях, которые в пространстве смещены по вертикали на высоту \( h \).
Вершины основания:
- \( A = (0,0,0) \)
- \( B = (a,0,0) \)
- \( C = (a,a,0) \)
- \( D = (0,a,0) \)
Вершина верхнего основания:
- \( A' = (0,0,h) \)
- и т. д.
Диагональ, например, \( A - C' \), соединяющая нижнюю вершину \( A \) и верхнюю вершину \( C' \), будет иметь длину:
\[ A - C' = \sqrt{(a)^2 + (a)^2 + (h)^2} = \sqrt{2a^2 + h^2} \]
По условию, эта диагональ равна 8:
\[ \sqrt{2a^2 + h^2} = 8 \] \[ 2a^2 + h^2 = 64 \quad (1) \]
Шаг 4: Учёт угла между диагональю и плоскостью основания
Угол между диагональю и плоскостью основания \( \alpha = 60^\circ \).
Плоскость основания — горизонтальная.
Диагональ призм — это пространственная диагональ, образующая с плоскостью основания угол \( 60^\circ \).
Проекция этой диагонали на основание — это диагональ квадрата \( a \sqrt{2} \).
Высота \( h \) — это компонент диагонали, перпендикулярный плоскости основания.
Используем тригонометрию:
\[ \cos(60^\circ) = \frac{\text{прилежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{d} = \frac{h}{8} \] \[ h = 8 \times \cos(60^\circ) = 8 \times \frac{1}{2} = 4 \]
Итак, \( h = 4 \).
Шаг 5: Находим сторону квадрата \( a \)
Вернёмся к уравнению (1):
\[ 2a^2 + h^2 = 64 \] \[ 2a^2 + 4^2 = 64 \] \[ 2a^2 + 16 = 64 \] \[ 2a^2 = 48 \] \[ a^2 = 24 \] \[ a = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]
Шаг 6: Вычисление площади боковой поверхности
Площадь боковой поверхности — сумма площадей всех боковых граней. В правильной призме боковые грани — прямоугольники со сторонами \( a \) и \( h \).
Всего 4 боковых грани, каждая с площадью:
\[ S_{бок} = 4 \times (a \times h) \]
Подставляем значения:
\[ a = 2 \sqrt{6} \] \[ h = 4 \] \[ S_{бок} = 4 \times (2 \sqrt{6} \times 4) = 4 \times (8 \sqrt{6}) = 32 \sqrt{6} \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Площадь боковой поверхности} = 32 \sqrt{6} } \]
Это — искомая площадь боковой поверхности призмы.
