Найди площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, если её диагональ равна 8 и образует с плоскостью основания угол 60 °

Давайте разберём задачу по этапам, чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы. Дано: - Диагональ призмы \( d = 8 \) - Диагональ образует с плоскостью основания угол \( \alpha = 60^\circ \) Требуется найти площадь боковой поверхности \( S_{бок} \). --- ### Шаг 1: Визуализация и обозначения Обозначим: - Основание — квадрат со стороной \( a \). - Высота призмы — \( h \). Поскольку призма правильная, основания — равные квадраты, и боковые грани — параллелограммы. --- ### Шаг 2: Связь между диагональю призмы и её элементами Диагональ призмы — это отрезок, соединяющий противоположные вершины верхнего и нижнего основания. У правильной призмы: - Диагональ основания: квадрат со стороной \( a \), её диагональ: \[ d_{осн} = a \sqrt{2} \] - Диагональ призмы вся — соединяет вершины, находящиеся напротив друг друга, образуя диагональ тетраэдра, потому что призма "наклонена". Это значит, что диагональ призмы образует с основанием угол \( 60^\circ \), связанный с её пространственной ориентацией. --- ### Шаг 3: Расчёт боковой высоты и её связи с диагональю Рассмотрим прямую, по которой расположена диагональ: - В пространстве диагональ призмы соединяет вершины, расположенные на верхнем и нижнем основаниях, которые в пространстве смещены по вертикали на высоту \( h \). Вершины основания: - \( A = (0,0,0) \) - \( B = (a,0,0) \) - \( C = (a,a,0) \) - \( D = (0,a,0) \) Вершина верхнего основания: - \( A' = (0,0,h) \) - и т. д. Диагональ, например, \( A - C' \), соединяющая нижнюю вершину \( A \) и верхнюю вершину \( C' \), будет иметь длину: \[ A - C' = \sqrt{(a)^2 + (a)^2 + (h)^2} = \sqrt{2a^2 + h^2} \] По условию, эта диагональ равна 8: \[ \sqrt{2a^2 + h^2} = 8 \] \[ 2a^2 + h^2 = 64 \quad (1) \] --- ### Шаг 4: Учёт угла между диагональю и плоскостью основания Угол между диагональю и плоскостью основания \( \alpha = 60^\circ \). Плоскость основания — горизонтальная. Диагональ призм — это пространственная диагональ, образующая с плоскостью основания угол \( 60^\circ \). Проекция этой диагонали на основание — это диагональ квадрата \( a \sqrt{2} \). Высота \( h \) — это компонент диагонали, перпендикулярный плоскости основания. Используем тригонометрию: \[ \cos(60^\circ) = \frac{\text{прилежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{d} = \frac{h}{8} \] \[ h = 8 \times \cos(60^\circ) = 8 \times \frac{1}{2} = 4 \] Итак, \( h = 4 \). --- ### Шаг 5: Находим сторону квадрата \( a \) Вернёмся к уравнению (1): \[ 2a^2 + h^2 = 64 \] \[ 2a^2 + 4^2 = 64 \] \[ 2a^2 + 16 = 64 \] \[ 2a^2 = 48 \] \[ a^2 = 24 \] \[ a = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \] --- ### Шаг 6: Вычисление площади боковой поверхности Площадь боковой поверхности — сумма площадей всех боковых граней. В правильной призме боковые грани — прямоугольники со сторонами \( a \) и \( h \). Всего 4 боковых грани, каждая с площадью: \[ S_{бок} = 4 \times (a \times h) \] Подставляем значения: \[ a = 2 \sqrt{6} \] \[ h = 4 \] \[ S_{бок} = 4 \times (2 \sqrt{6} \times 4) = 4 \times (8 \sqrt{6}) = 32 \sqrt{6} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Площадь боковой поверхности} = 32 \sqrt{6} } \] Это — искомая площадь боковой поверхности призмы.