В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат, сторона которого в 3 раза меньше высоты параллелепипеда. Найди сторону основания, если объём параллелепипеда равен 1536.

Давайте решим задачу подробно и по шагам.

Дано:

• Основание — квадрат.
• Сторона квадрата — \( a \).
• Высота параллелепипеда — \( h \).
• Сторона квадрата в 3 раза меньше высоты:
  \[ a = \frac{h}{3} \]
• Объем параллелепипеда — 1536: \[ V = a^2 \times h = 1536 \]

Шаг 1: Запишем известное выражение объема

Объем прямого параллелепипеда: \[ V = a^2 \times h \]

Подставим \( a = \frac{h}{3} \): \[ V = \left(\frac{h}{3}\right)^2 \times h \]

Шаг 2: Упростим выражение

\[ V = \frac{h^2}{9} \times h = \frac{h^3}{9} \]

Известно, что \( V = 1536 \), то есть: \[ \frac{h^3}{9} = 1536 \]

Шаг 3: Решим уравнение относительно \( h \)

Умножим обе части на 9: \[ h^3 = 1536 \times 9 \]

Вычислим \( 1536 \times 9 \): \[ 1536 \times 9 = (1500 + 36) \times 9 = 1500 \times 9 + 36 \times 9 = 13500 + 324 = 13824 \]

Итак: \[ h^3 = 13824 \]

Шаг 4: Найдём \( h \)

Рассмотрим кубический корень из 13824:

Поскольку \( 24^3 = 24 \times 24 \times 24 \):

• \( 24 \times 24 = 576 \)
• \( 576 \times 24 = 576 \times (20 + 4) = 576 \times 20 + 576 \times 4 = 11520 + 2304 = 13824 \)

Вот, мы нашли:

\[ h = 24 \]

Шаг 5: Найдём сторону основания \( a \)

\[ a = \frac{h}{3} = \frac{24}{3} = 8 \]

Ответ:

Сторона основания квадрата равна \(\boxed{8}\).