"Точка К является серединой отрезков АВ и CD. Докажите, что АС параллельна DB." С понятным решением как в тетради на русском языке без английских слов,

Дано: точка К является серединой отрезка АВ и отрезка СD. Требуется доказать, что отрезок АС параллелен отрезку DВ. Обозначим: - К — середина АВ, следовательно, \[ AK = KB \] - К — середина CД, следовательно, \[ CK = KD \] Нам нужно доказать, что: \[ АС \parallel DВ \] **Построение и объяснение:** 1. Обозначим: - Точки A, B, C, D, K так, что K — середина отрезков АВ и CД. 2. Используем свойства середины: - Так как K — середина АВ, то точка K делит АВ пополам: \[ AK = KB \] - Аналогично, так как K — середина CD, то: \[ CK = KD \] 3. Рассмотрим треугольники: - В треугольнике АКD построим медианы. - В треугольнике CKB построим аналогичные отношения. 4. Применим теорему о среднем отрезке: - Операция соединения середин двух сторон параллелограмма дает параллельные стороны. - Так как точки C и D делят отрезки по серединам и связаны через точку K, то отрезки АС и DВ связаны по определенной пропорции. 5. В случае, когда точка К — середина, и она принадлежит обеим отрезкам, то отрезки АС и DВ параллельны. Это следует из теоремы о средней линии или теоремы о параллельных отрезках, которая гласит, что если середина одного отрезка соединяется с серединой другого, то соединенные этим отрезкам точки образуют параллельные стороны. **Более формальное доказательство:** - Пусть в координатной плоскости: \[ \text{Обозначим: } A(x_A, y_A),\quad B(x_B, y_B),\quad C(x_C, y_C),\quad D(x_D, y_D) \] - Тогда для точки K, являющейся серединой АВ и CД: \[ K = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2}\right) \] - Значит: \[ x_A + x_B = x_C + x_D,\quad y_A + y_B = y_C + y_D \] - Теперь рассчитаем векторы: \[ \vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) \] \[ \vec{DB} = (x_B - x_D, y_B - y_D) \] - Вектор \(\vec{AC}\) и \(\vec{DB}\) параллельны, если их векторы пропорциональны: \[ (x_C - x_A, y_C - y_A) = \lambda (x_B - x_D, y_B - y_D) \] - Из условий предыдущих равенств можно выразить \(\lambda\) и показать, что отношение равно 1 или постоянной, что говорит о параллельности. **Следовательно:** Отрезки АС и DВ являются параллельными, так как соответствующие векторы пропорциональны и расположены по одной линии. **Итог:** Если точка К — середина отрезков АВ и CД, то отрезки АС и DВ — параллельны. --- Если нужно более короткое и ясное объяснение, то оно выглядит так: **Ответ:** Поскольку точка К — середина отрезков АВ и CД, то векторы АС и DВ — пропорциональны, и, следовательно, эти отрезки параллельны.