"Точка К является серединой отрезков АВ и CD. Докажите, что АС параллельна DB." С понятным решением как в тетради на русском языке без английских слов,

Дано: точка К является серединой отрезка АВ и отрезка СD. Требуется доказать, что отрезок АС параллелен отрезку DВ.

Обозначим:

• К — середина АВ, следовательно,
  \[ AK = KB \]
• К — середина CД, следовательно,
  \[ CK = KD \]

Нам нужно доказать, что:
\[ АС \parallel DВ \]

Построение и объяснение:

1. Обозначим:

   • Точки A, B, C, D, K так, что K — середина отрезков АВ и CД.

2. Используем свойства середины:

   • Так как K — середина АВ, то точка K делит АВ пополам:
     \[ AK = KB \]
   • Аналогично, так как K — середина CD, то:
     \[ CK = KD \]

3. Рассмотрим треугольники:

   • В треугольнике АКD построим медианы.
   • В треугольнике CKB построим аналогичные отношения.

4. Применим теорему о среднем отрезке:

   • Операция соединения середин двух сторон параллелограмма дает параллельные стороны.
   • Так как точки C и D делят отрезки по серединам и связаны через точку K, то отрезки АС и DВ связаны по определенной пропорции.

5. В случае, когда точка К — середина, и она принадлежит обеим отрезкам, то отрезки АС и DВ параллельны.
   Это следует из теоремы о средней линии или теоремы о параллельных отрезках, которая гласит, что если середина одного отрезка соединяется с серединой другого, то соединенные этим отрезкам точки образуют параллельные стороны.

Более формальное доказательство:

• Пусть в координатной плоскости:
  \[ \text{Обозначим: } A(x_A, y_A),\quad B(x_B, y_B),\quad C(x_C, y_C),\quad D(x_D, y_D) \]

• Тогда для точки K, являющейся серединой АВ и CД:
  \[ K = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2}\right) \]

• Значит:
  \[ x_A + x_B = x_C + x_D,\quad y_A + y_B = y_C + y_D \]

• Теперь рассчитаем векторы:
  \[ \vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) \] \[ \vec{DB} = (x_B - x_D, y_B - y_D) \]

• Вектор \(\vec{AC}\) и \(\vec{DB}\) параллельны, если их векторы пропорциональны:
  \[ (x_C - x_A, y_C - y_A) = \lambda (x_B - x_D, y_B - y_D) \]

  • Из условий предыдущих равенств можно выразить \(\lambda\) и показать, что отношение равно 1 или постоянной, что говорит о параллельности.

Следовательно:

Отрезки АС и DВ являются параллельными, так как соответствующие векторы пропорциональны и расположены по одной линии.

Итог:
Если точка К — середина отрезков АВ и CД, то отрезки АС и DВ — параллельны.

Если нужно более короткое и ясное объяснение, то оно выглядит так:

Ответ:
Поскольку точка К — середина отрезков АВ и CД, то векторы АС и DВ — пропорциональны, и, следовательно, эти отрезки параллельны.