Некотором городе на любом перекрёстке сходятся ровно 3 улицы. Улицы раскрашены в три цвета так, что на каждом перекрёстке сходятся улицы трёх разных цветов. Из города выходят три дороги. Докажите, что они имеют разные цвета.

Давайте подробно разберем задачу и докажем ее утверждение. **Задача:** На любом перекрёстке города сходятся ровно 3 улицы, каждая окрашена в один из трех цветов, так что на каждом перекрестке встречаются улицы всех трех цветов. Из города выходят три дороги. Нужно доказать, что эти три дороги имеют разные цвета. --- ### Шаг 1: Введение терминов и предположений Обозначим: - Цвета улиц: \(A, B, C\). - Каждый перекресток — это точка, где сходятся улицы разных цветов, то есть каждая улица, проходящая через перекресток, имеет свой цвет, и все три цвета присутствуют. - Таким образом, каждая пара улиц, пересекающихся в перекрестке, имеет разный цвет, а каждое пересечение — тройное сочетание трех цветов. --- ### Шаг 2: Модель задачи — граф Рассмотрим город как граф: - Вершины графа — перекрестки. - Ребра — улицы, соединяющие перекрестки. Но в задаче важна цветовая схема улиц: - Улицы окрашены в три цвета \(A, B, C\). - Перекрестки — это точки, где встречаются улицы всех трех цветов, то есть каждая вершина графа связана улицами всех трех цветов. Следовательно, улицы (ребра) — это закрашенные в один из трех цветов, а перекрестки — это вершины, где встречаются три улицы разных цветов. --- ### Шаг 3: Разбор задачи о дорогах Из города выходят три дороги. Важно понять: - Каждая дорога — это некоторый путь по улицам города. - Нужно показать, что у трех таких путей (дорог), исходящих из города, **цвета (по улицам)** различны, то есть дороги не имеют одинакового цвета. --- ### Шаг 4: Доказательство **Что нужно доказать:** Чтобы три дороги, исходящие из города, имели разные цвета, необходимо показать, что они не могут иметь одинаковый цвет. Если предположить противное — что хотя бы две дороги имеют одинаковый цвет, то: - Пусть обе дороги, например, имеют цвет \(A\). - В этом случае, на каждой из этих дорог есть последовательность улиц, окрашенных в цвет \(A\). Но ведь на каждом перекрестке встречаются улицы трех разных цветов, и улицы окрашены так, что пересекаются только улицы разных цветов. --- ### Шаг 5: Использование свойства перекрестков и яйца-окс Ключевая идея: - Перекрестки — это точки соединения улиц всех трех цветов \(A, B, C\). - Дороги идут по улицам, и каждый путь, связанный с определенным цветом, может проходить только по улицам этого цвета. - Поскольку каждый перекресток содержит улицы всех трех цветов, и улицы окрашены в эти цвета, то в каждой дороге, исходящей из города, должна быть **одинаковая** окраска улиц — либо все улицы этой дороги одного цвета, либо, если мы говорим о путях с переменным цветом, то эти пути могут быть окрашены разными цветами. Но поскольку в условии сказано, что из города выходят три дороги, и необходимо доказать, что они имеют разные цвета, то: - Если две дороги имели бы одинаковый цвет, то они представляли бы собой два пути, оба полностью окрашенных в один цвет, и, следовательно, все улицы по этим дорогам — в один цвет. - Но тогда состоит противоречие с условием, что на каждом перекрестке встречаются улицы всех трех цветов, потому что такие дороги, уходящие из города, не могут быть окрашены только в один цвет во всей длине — ведь каждое пересечение содержит улицы всех трех цветов. --- ### **Заключение:** Из этого следует, что три дороги, исходящие из города, должны иметь **разные цвета**. Иначе возникла бы противоречие: если бы две дороги имели один и тот же цвет, то при пересечениях не соблюдалось бы условие наличия всех трех цветов на перекрестках. --- ### **Ответ:** **Доказано, что три дороги, выходящие из города, имеют разные цвета.**