Рассмотрим задачу шаг за шагом.
Обозначим массу груза, который несли ёжики вчера, через:
- ( x_1 ) — массу груза, который несли первый ёжик вчера,
- ( x_2 ) — массу груза, который несли второй ёжик вчера,
- ( x_3 ) — массу груза, который несли третий ёжик вчера.
Из условия известно, что суммарно они несли 200 г:
[
x_1 + x_2 + x_3 = 200 \quad \text{(уравнение 1)}
]
Сегодняёжики несут грузы, изменённые по условию:
- Первый ёжик несёт столько же, сколько и вчера: ( x_1 ),
- Второй ёжик — в два раза больше, чем вчера: ( 2x_2 ),
- Третий — в три раза меньше, чем вчера: ( \frac{x_3}{3} ).
Суммарная масса сегодня:
[
\text{Всего} = x_1 + 2x_2 + \frac{x_3}{3}
]
Теперь выразим ( x_1, x_2, x_3 ) через известную сумму и ограничения.
Из уравнения 1:
[
x_3 = 200 - x_1 - x_2
]
Подставим это в выражение для сегодняшней суммы:
[
S = x_1 + 2x_2 + \frac{200 - x_1 - x_2}{3}
]
Раскроем скобки и упростим:
[
S = x_1 + 2x_2 + \frac{200}{3} - \frac{x_1}{3} - \frac{x_2}{3}
]
Объединим подобные члены:
[
S = x_1 - \frac{x_1}{3} + 2x_2 - \frac{x_2}{3} + \frac{200}{3}
]
Приведем к общему знаменателю 3:
[
S = \left(\frac{3x_1}{3} - \frac{x_1}{3}\right) + \left(\frac{6x_2}{3} - \frac{x_2}{3}\right) + \frac{200}{3}
]
Это равно:
[
S = \frac{(3x_1 - x_1) + (6x_2 - x_2)}{3} + \frac{200}{3}
]
Упростим числители:
[
S = \frac{2x_1 + 5x_2}{3} + \frac{200}{3}
]
Общий выражение:
[
S = \frac{2x_1 + 5x_2 + 200}{3}
]
Теперь нужно подобрать значения ( x_1 ) и ( x_2 ), такие, чтобы груз, который несут сегодня ёжики, не превышал их максимальные возможности:
- ( x_1 \leq 60 ),
- ( x_2 \leq 100 ),
- ( x_3 = 200 - x_1 - x_2 \leq 90 ).
Но также выражение для ( x_3 ):
[
x_3 = 200 - x_1 - x_2 \leq 90
]
[
200 - x_1 - x_2 \leq 90 \implies x_1 + x_2 \geq 110
]
И еще, так как грузы не могут быть отрицательными, имеются ограничения:
[
x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0, \quad x_3 \geq 0
]
Итак, рассматриваем условия:
[
x_1 \geq 0,\quad x_2 \geq 0,\quad x_1 \leq 60,\quad x_2 \leq 100,\quad x_1 + x_2 \geq 110
]
Объединим:
[
x_1 + x_2 \geq 110
]
с ограничениями:
[
x_1 \leq 60, \quad x_2 \leq 100
]
Наибольший возможный ( x_1 \leq 60 ), а для ( x_2 ) — ( \leq 100 ). Для выполнения условие ( x_1 + x_2 \geq 110 ), при максимально допустимых значениях:
- если ( x_1 = 60 ), тогда ( x_2 \geq 50 ),
- если ( x_2 = 100 ), тогда ( x_1 \geq 10 ).
Выберем крайние значения, чтобы найти максимальный ( S ):
[
S = \frac{2x_1 + 5x_2 + 200}{3}
]
Чтобы максимизировать ( S ), нужно выбрать максимально возможные ( x_1 ) и ( x_2 ), поскольку их коэффициенты в выражении положительны.
Рассмотрим максимальные значения:
- ( x_1 = 60 ),
- чтобы удовлетворить ( x_1 + x_2 \geq 110 ), необходимо:
[
60 + x_2 \geq 110 \implies x_2 \geq 50
]
и также ( x_2 \leq 100 ), поэтому выбираем:
[
x_2 = 100
]
Теперь посчитаем сумму:
[
S = \frac{2 \times 60 + 5 \times 100 + 200}{3} = \frac{120 + 500 + 200}{3} = \frac{820}{3}
]
Результат:
[
\boxed{\frac{820}{3} \text{ г}}
]
или в десятичном виде:
[
\frac{820}{3} \approx 273.\overline{3}
]
Значит, сегодняшняя суммарная масса груза — 273 грамма.
Ответ: 273 г
