Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во…
Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно одну мишень»?
Давайте подробно разберем задачу и найдем искомое отношение вероятностей.
Что дано:
- Стреляет по 5 мишеням.
- Каждая мишень может быть поразена максимум двумя выстрелами.
- Вероятность поразить мишень одним выстрелом: \( p = 0,6 \).
- Необходимо найти отношение: \[ \frac{\Pr(\text{поразит ровно 2 мишени})}{\Pr(\text{поразит ровно 1 мишень})} \]
Подготовка и уточнение условий
Условие, что "на каждую мишень дается не более двух выстрелов", указывает, что если мишень не поразилась, то оба выстрела промаха, а если поразилась, то один или два выстрела, в зависимости от результата.
Вероятность поразить мишень:
- Изначально — один выстрел с вероятностью 0,6, промах — 0,4.
- В случае, что требуется 2 выстрела, чтобы поразить мишень, — второй выстрел тоже с вероятностью 0,6.
Общий сценарий для одной мишени:
- Мишень поразилась ровно с помощью одного выстрела:
- Первый выстрел: поразил (0,6)
- Второй выстрел: не нужен (так как мишень уже поразилась)
- Или мишень не поразилась после двух выстрелов:
✓ Вероятность, что мишень поразилась ровно одним выстрелом:
Это происходит, если:
Первый выстрел поразил (0,6), второй — не нужен, так как мишень уже поразилась.
В случае, что мишень не поразилась после первого выстрела, есть второй шанс, чтобы поразить:
- Первый выстрел: промах (0,4)
- Второй выстрел: поразил (0,6)
о, но у нас должно быть ровно одна поразившаяся мишень, то есть:
- либо поразилась только один раз, либо два раза, но считать нужно по условию — ровно одна поразившаяся мишень.
На этот счет:
Вероятности для одной мишени
Чтобы мишень поразилась ровно один раз:
Это либо:
- Первый выстрел поразил, второй промах:
\[ P_{1} = 0,6 \times 0,4 = 0,24 \]
- Первый выстрел промах, второй поразил:
\[ P_{2} = 0,4 \times 0,6 = 0,24 \]
Общая вероятность, что одна мишень поразилась ровно один раз:
\[ P_{рово_1} = P_{1} + P_{2} = 0,24 + 0,24 = 0,48 \]
Чтобы мишень поразилась ровно два раза:
- Оба выстрела поразили мишень:
\[ P_{две} = 0,6 \times 0,6 = 0,36 \]
Теперь рассматриваем вероятность поразить ровно \(k\) мишеней из 5:
Обозначим:
- \(X\) — число поразившихся мишеней.
Поскольку каждый выстрел по мишени — независимое событие, а для каждой мишени вероятность:
- поразиться ровно один раз \(q_1 = 0,48\),
- поразиться дважды \(q_2 = 0,36\),
- а мишень может остаться не поразденной (так как результат "не поразил" — это ситуация, когда оба выстрела промахи, вероятность:
\[ q_0 = 0,4 \times 0,4 = 0,16 \]
но для нашего вопроса, достаточно рассматривать только вероятности для "поразил ровно один раз" и "поразил дважды", потому что эти события означают, что мишень поразилась хотя бы один раз, не уточняя, сколько именно раз. Однако у нас есть конкретные случаи: ровно одна мишень и ровно две мишени, поразившиеся.
Вероятность набрать ровно \(k\) мишеней:
Каждая мишень — независимая "битовая" случайная величина с вероятностями:
- поразилась однажды: \(0,48\),
- поразилась дважды: \(0,36\),
- не поразилась: \(0,16\).
Но так как цель — определить вероятность поразить ровно 1 или 2 мишени во всей серии из 5, нужно учесть, что события для разных мишеней независимы и сумма вероятностей — 1:
\[ q_0 + q_1 + q_2 = 1 \]
Для вариантов "ровно одна" и "ровно две" итоги:
- Вероятность, что ровно \(k\) мишеней поразились, получается по формуле биномиального распределения:
\[ \Pr(\text{ровно }k \text{ поразились}) = \sum_{i=\max(0,k-3)}^{\min(k, 5)} \binom{5}{i} (q_2)^i (q_1)^{k-i} (q_0)^{5 - k} \]
но поскольку \(q_0\) — вероятность не поразить мишень вовсе, и мы ищем только вероятности, связанные с "поразил ровно одну" или "ровно две".
Окончательный расчет
Наиболее просто — воспользоваться формулой для вероятности того, что ровно \(k\) мишеней поразились, на основе вероятностей:
- поразилась одна мишень: \(0,48\),
- поразилась две мишень: \(0,36\).
Таким образом:
Вероятность поразить ровно одну мишень:
\[ P(\text{ровно 1}) = \binom{5}{1} \times (0,48)^1 \times (1 - 0,48)^{4} \]
Но не забудем, что вероятность поразить ровно одну мишень — это сумма вероятностей, чтобы ровно одна из 5 мишеней поразилась ровно одним выстрелом или двумя, учитывая оба варианта. Однако, так как мы уже нашли вероятность попадания ровно по одной мишени при одном выстреле равной 0,48, а не поразки, то:
\[ \Pr(\text{ровно 1 мишень поразилась}) = \binom{5}{1} \times 0,48 \times (1 - 0,48)^{4} \]
и
\[ \Pr(\text{ровно 2 мишени поразились}) = \binom{5}{2} \times 0,36 \times (1 - 0,36)^{3} \]
Итоги и вывод
Подставим числа:
- \(\binom{5}{1} = 5\),
- \(\binom{5}{2} = 10\),
- \(1 - 0,48 = 0,52\),
- \(1 - 0,36 = 0,64\).
Тогда:
\[ \boxed{ \frac{\Pr(\text{ровно 2 мишени})}{\Pr(\text{ровно 1 мишень})} = \frac{10 \times 0,36 \times 0,64^{3}}{5 \times 0,48 \times 0,52^{4}} } \]
Рассчитаем числитель и знаменатель:
Вычисление числителя:
\[ 10 \times 0,36 \times 0,64^{3} \]
\(0,64^{3} = 0,262144\)
Тогда:
\[ 10 \times 0,36 \times 0,262144 \approx 10 \times 0,09417184 = 0,9417184 \]
Вычисление знаменателя:
\[ 5 \times 0,48 \times 0,52^{4} \]
- \(0,52^{4}\):
\[ 0,52^{2} = 0,2704 \] \[ 0,2704 \times 0,52 = 0,140608 \] \[ 0,140608 \times 0,52 = 0,07307616 \]
- Тогда:
\[ 5 \times 0,48 \times 0,07307616 \approx 5 \times 0,035077 = 0,175385 \]
Итог:
\[ \frac{0,9417184}{0,175385} \approx 5.37 \]
Ответ:
Вероятность, что стрелок поразит ровно две мишени, в примерно 5,37 раз больше вероятности, что он поразит ровно одну мишень.
